Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 1,9 kg на пружине с k = 110 N/m оттягивают на 11 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1,1 s (со знаком).
m = 1,9 kgk = 110 N/mA = 11 cmt = 1,1 s
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 220 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость vmax.
m = 0,8 kgk = 220 N/mA = 5 cm
vmax = m/s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Источник частотой 600 Hz движется со скоростью 25 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.
f = 600 Hzv = 343 m/svs = 25 m/s
f′ = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 600 nm проходит через одиночную щель шириной 0,12 mm. Найдите угол θ3 тёмной полосы номер 3 относительно направления прямого прохождения.
λ = 600 nma = 0,12 mmm = 3
θ3 = °
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: v = −0,7281 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(110/1,9) = 7,609 rad/s
ω·t = 7,609·1,1 = 8,37 rad
Скорость
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,11·7,609·sin(8,37) = −0,7281 m/s
Ответ
v = −0,7281 m/s
2.Пружины и маятники
Ответ: vmax = 0,8292 m/s
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(220/0,8) = 16,58 rad/s
Наибольшая скорость
vmax = A·ω = 0,05·16,58 = 0,8292 m/s
Ответ
vmax = 0,8292 m/s
3.Волны, звук и оптика
Ответ: f′ = 559,2 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Формула Доплера
f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 600·(343 − 0)/(343 + 25)
f′ = 559,2 Hz
Ответ
f′ = 559,2 Hz
4.Волны, звук и оптика
Ответ: θ3 = 0,8595 °
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Условие тёмной полосы
sin θ = mλ/a = 0,015
θ = 0,8595°
Ответ
θ3 = 0,8595°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics