Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
L = 2,2 m

Длина математического маятника 2,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,2 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружины и маятникиСложная
1,1 kgk = 410 N/m

Груз массой 1,1 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 410 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.

m = 1,1 kgk = 410 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
S34 m/sO5 m/sf = 400 Hz

Источник частотой 400 Hz, движущийся со скоростью 34 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 5 m/s, приближаются друг к другу. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 400 Hzv = 343 m/svs = 34 m/svo = 5 m/s
f′ = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
f1​ = 5 cmf2​ = −15 cm50 cm20 cm

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 20 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 5 cm и линза 2 с f₂ = −15 cm. Предмет находится в 50 cm перед линзой 1. Найдите положение di2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f1 = 5 cmf2 = −15 cms = 20 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,975 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,2/9,81) = 2,975 s

Ответ

T = 2,975 s
2.Пружины и маятники

Ответ: xmax = 5,264 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,1·9,81/410 = 0,02632 m = A

Нижняя точка

xmax = 2A = 0,05264 m = 5,264 cm

Ответ

xmax = 5,264 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 450,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 400·(343 + 5)/(343 − 34)
f′ = 450,5 Hz

Ответ

f′ = 450,5 Hz
4.Волны, звук и оптика

Ответ: di2 = −7,358 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/di1 = 1/5 − 1/50 → di1 = 5,556 cm

Предмет для линзы 2

do2 = 20 − 5,556 = 14,44 cm

Итоговое изображение

1/di2 = 1/(−15) − 1/14,44 → di2 = −7,358 cm

Ответ

di2 = −7,358 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics