Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Длина математического маятника 2,7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.
L = 2,7 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 7 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.
m = 2,1 kgk = 150 N/mA = 7 cm
amax = m/s²
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «флинт» (n = 1,62). Найдите критический угол θc, за пределом которого происходит полное отражение.
n1 = 2,42n2 = 1,62
θc = °
4.Волны, звук и оптикаСложная
Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 25 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).
f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: T = 3,296 s
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Период маятника
T = 2π·√(2,7/9,81) = 3,296 s
Ответ
T = 3,296 s
2.Пружины и маятники
Ответ: amax = 5 m/s²
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(150/2,1) = 8,452 rad/s
Наибольшее ускорение
amax = A·ω² = 0,07·8,452² = 5 m/s²
Ответ
amax = 5 m/s²
3.Волны, звук и оптика
Ответ: θc = 42,02 °
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Преломление под 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,62/2,42 = 0,6694
Критический угол
θc = arcsin(0,6694) = 42,02°
Ответ
θc = 42,02°
4.Волны, звук и оптика
Ответ: f″ = 17283 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Частота у автомобиля
f′ = 20000·(343 − 25)/343 = 18542 Hz
Частота эха
f″ = f′·343/(343 + 25) = 17283 Hz
Ответ
f″ = 17283 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics