Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
L = ?

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,2 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,2 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
0,2 kgk = 490 N/mA = 20 cm

Груз массой 0,2 kg на пружине с k = 490 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.

m = 0,2 kgk = 490 N/mA = 20 cm
amax = m/s²
3.Волны, звук и оптикаСредняя
FFdo​ = 60 cmf = −5 cm

Предмет находится в 60 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 5 cm. Найдите расстояние до изображения di. Используйте правило знаков 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для рассеивающей линзы, di < 0 для мнимого изображения).

do = 60 cmf = −5 cm
di = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
θa​ = ?n1​ = 1,46n2​ = 1,43n0​ = 1,00

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,43. Найдите наибольший угол θa к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n1 = 1,46n2 = 1,43n0 = 1,00
θa = °

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,3578 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,2/2π)² = 0,3578 m

Ответ

L = 0,3578 m
2.Пружины и маятники

Ответ: amax = 490 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(490/0,2) = 49,5 rad/s

Наибольшее ускорение

amax = A·ω² = 0,2·49,5² = 490 m/s²

Ответ

amax = 490 m/s²
3.Волны, звук и оптика

Ответ: di = −4,615 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/60
di = −4,615 cm
FF60 cmf = −5 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

di = −4,615 cm
4.Волны, звук и оптика

Ответ: θa = 17,12 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,43/1,46 = 0,9795 → θc = 78,36°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,43²) = 0,2944

Угол приёма

θa = arcsin(0,2944) = 17,12°

Ответ

θa = 17,12°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics