Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
T = 2,1 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 180 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.
m = 0,6 kgk = 180 N/mA = 20 cm
E = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Предмет находится в 25 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 5 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).
do = 25 cmf = 5 cm
m =
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 532 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние y2 от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 2.
λ = 532 nmd = 0,5 mmL = 1,2 mm = 2
y2 = mm
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: L = 1,096 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Выразите длину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m
Ответ
L = 1,096 m
2.Пружины и маятники
Ответ: E = 3,6 J
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(180/0,6) = 17,32 rad/s
Энергия
E = ½·k·A² = ½·180·0,2² = 3,6 J
Ответ
E = 3,6 J
3.Волны, звук и оптика
Ответ: m = −0,25
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Формула тонкой линзы
1/di = 1/f − 1/do = 1/5 − 1/25
di = 6,25 cm
Увеличение
m = −di/do = −6,25/25 = −0,25
Ответ
m = −0,25
4.Волны, звук и оптика
Ответ: y2 = 2,554 mm
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между полосами
Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1,2/(0,5 × 10⁻³) = 1,277 mm
Полоса номер 2
y2 = 2·1,277 = 2,554 mm
Ответ
y2 = 2,554 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics