Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
1 kgk = 240 N/mA = 5 cmx = 3 cm

Груз массой 1 kg на пружине с k = 240 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 5 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 1 kgk = 240 N/mA = 5 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
2,1 kgk = 160 N/mA = 14 cm

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 14 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.

m = 2,1 kgk = 160 N/mA = 14 cm
amax = m/s²
3.Волны, звук и оптикаСредняя
S34 m/sO10 m/sf = 1000 Hz

Источник частотой 1000 Hz, движущийся со скоростью 34 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 10 m/s, приближаются друг к другу. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 1000 Hzv = 343 m/svs = 34 m/svo = 10 m/s
f′ = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
λ = 656 nmθ

Дифракционная решётка имеет 500 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 656 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок mmax светлого максимума, который можно увидеть?

N = 500 mm⁻¹λ = 656 nm
mmax =

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6197 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(240/1) = 15,49 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 15,49·√(0,05² − 0,03²) = 0,6197 m/s

Ответ

v = 0,6197 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: amax = 10,67 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(160/2,1) = 8,729 rad/s

Наибольшее ускорение

amax = A·ω² = 0,14·8,729² = 10,67 m/s²

Ответ

amax = 10,67 m/s²
3.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 1142 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 1000·(343 + 10)/(343 − 34)
f′ = 1142 Hz

Ответ

f′ = 1142 Hz
4.Волны, звук и оптика

Ответ: mmax = 3

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/500 mm = 2 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 2 µm/0,656 µm = 3,049 → mmax = 3

Ответ

mmax = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics