Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,8 kg на пружине с k = 110 N/m оттягивают на 13 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,15 s (со знаком).

m = 2,8 kgk = 110 N/mA = 13 cmt = 0,15 s

v = m/s

2.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 4 kg на пружине с k = 190 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 4 kgk = 190 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

3.Волны, звук и оптикаСредняя

Наблюдатель движется со скоростью 20 m/s к неподвижному источнику частотой 600 Hz. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

4.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 60 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 8 cm и линза 2 с f₂ = 5 cm. Предмет находится в 30 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 8 cmf₂ = 5 cms = 60 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,6581 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(110/2,8) = 6,268 rad/s

ω·t = 6,268·0,15 = 0,9402 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,13·6,268·sin(0,9402) = −0,6581 m/s

Ответ

v = −0,6581 m/s

2.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 9,5 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(190/4) = 6,892 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,2·6,892² = 9,5 m/s²

Ответ

a_max = 9,5 m/s²

3.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 635 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 20)/(343 − 0)

f′ = 635 Hz

Ответ

f′ = 635 Hz

4.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 5,567 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/8 − 1/30 → d_i1 = 10,91 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 60 − 10,91 = 49,09 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/5 − 1/49,09 → d_i2 = 5,567 cm

Ответ

d_i2 = 5,567 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics