1.Лёгкая
Для уравнения y″ + 8y′ + 12y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Радиоактивный индикатор имеет период полураспада 15 сут. Образец вначале содержит 200 mg. Распад подчиняется закону dm/dt = −k·m. Сколько m останется через 56 сут?
m0 = 200 mgt½ = 15 dt = 56 d
m = mg
3.Средняя
Кованую стальную деталь температурой 440 °C оставили остывать в цехе при 28 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,03 min⁻¹ найдите температуру T через 57 min.
T0 = 440 °CTa = 28 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 57 min
T = °C
4.Средняя
Банку газировки температурой 5 °C достали из холодильника в комнату при 30 °C. Через 16 min температура равна 22 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 30 °CT(16) = 22 °C
k = min⁻¹
5.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 2y′ + 10y = 100 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите максимальное значение ymax её переходной характеристики.
y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите y(0,5); углы в радианах.
y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Ответы
- 1. r = −2
- 2. m = 15,04 mg
- 3. T = 102,5 °C
- 4. k = 0,07121 min⁻¹
- 5. ymax = 13,51
- 6. y(0.5) = 4,467
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.