1.Лёгкая
Для уравнения y″ + 10y′ + 24y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 10y′ + 24y = 0
r =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Величина растёт по закону dy/dt = k·y, где k > 0. При t = 0 она равна 200, а при t = 3 h — 580. Найдите константу скорости k в h⁻¹.
y(0) = 200y(3) = 580
k = h⁻¹
3.Средняя
Банку газировки температурой 4 °C достали из холодильника в комнату при 28 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,08 min⁻¹ найдите температуру T через 7 min.
T0 = 4 °CTa = 28 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 7 min
T = °C
4.Средняя
Банку газировки температурой 4 °C достали из холодильника в комнату при 22 °C. Через 11 min температура равна 14 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 22 °CT(11) = 14 °C
k = min⁻¹
5.Сложная
Решите y″ + 3y′ + 27,25y = 0 при y(0) = 10 и y′(0) = 0 (отпущено из состояния покоя). Найдите y(0,5); углы в радианах.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Сложная
В баке 500 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,25 kg на литр поступает со скоростью 2 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Через сколько минут t в баке будет 88 kg соли?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
Ответы
- 1. r = −4
- 2. k = 0,3549 h⁻¹
- 3. T = 14,29 °C
- 4. k = 0,07372 min⁻¹
- 5. y(0.5) = −2,936
- 6. t = 304,3 min
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.