1.Лёгкая
Система «масса–пружина–демпфер» описывается уравнением y″ + 2,4y′ + 36y = 0. Сравните его с y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 и найдите коэффициент демпфирования ζ.
y″ + 2,4y′ + 36y = 0
ζ =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Для уравнения y″ + 7y′ + 12y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.Средняя
Банку газировки температурой 5 °C достали из холодильника в комнату при 25 °C. Через 22 min температура равна 21 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 23 °C?
T0 = 5 °CTa = 25 °CT(22) = 21 °CT = 23 °C
t = min
4.Средняя
Кованую стальную деталь температурой 400 °C оставили остывать в цехе при 26 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,02 min⁻¹ найдите температуру T через 35 min.
T0 = 400 °CTa = 26 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 35 min
T = °C
5.Сложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 4 при x > 0, y(1) = 4. Найдите y(3).
y′ + 2y/x = 4y(1) = 4
y(3) =
6.Сложная
Решите задачу Коши y′ + y/x = 5 при x > 0, y(1) = 2. Найдите y(3).
y′ + y/x = 5y(1) = 2
y(3) =
Ответы
- 1. ζ = 0,2
- 2. r = −3
- 3. t = 31,47 min
- 4. T = 211,7 °C
- 5. y(3) = 4,296
- 6. y(3) = 7,333
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.