1.Лёгкая
Для уравнения y″ + 9y′ + 20y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Величина растёт по закону dy/dt = k·y, где k > 0. При t = 0 она равна 400, а при t = 7 h — 1480. Найдите константу скорости k в h⁻¹.
y(0) = 400y(7) = 1480
k = h⁻¹
3.Средняя
Кованую стальную деталь температурой 320 °C оставили остывать в цехе при 22 °C. Через 25 min температура равна 203 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 273 °C?
T0 = 320 °CTa = 22 °CT(25) = 203 °CT = 273 °C
t = min
4.Средняя
Чашку кофе температурой 91 °C оставили в комнате при 19 °C. Через 26 min температура равна 31 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 24 °C?
T0 = 91 °CTa = 19 °CT(26) = 31 °CT = 24 °C
t = min
5.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 4y′ + 29y = 290 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите y(0,25); углы в радианах.
y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Сложная
Решите y′ + 3y = 5e−t при y(0) = 1. Найдите y(1,5).
y′ + 3y = 5e−ty(0) = 1
y(1.5) =
Ответы
- 1. r = −4
- 2. k = 0,1869 h⁻¹
- 3. t = 8,606 min
- 4. t = 38,7 min
- 5. y(0.25) = 5,785
- 6. y(1.5) = 0,5412
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.