1.Лёгкая
Для уравнения y″ + 5y′ + 6y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Величина убывает по закону dy/dt = −k·y, где k > 0. При t = 0 она равна 250, а при t = 7 h — 163. Найдите константу скорости k в h⁻¹.
y(0) = 250y(7) = 163
k = h⁻¹
3.Средняя
Чашку кофе температурой 92 °C оставили в комнате при 22 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,04 min⁻¹ найдите температуру T через 11 min.
T0 = 92 °CTa = 22 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 11 min
T = °C
4.Средняя
Банку газировки температурой 3 °C достали из холодильника в комнату при 30 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,05 min⁻¹ найдите температуру T через 17 min.
T0 = 3 °CTa = 30 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 17 min
T = °C
5.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 4y′ + 8y = 8 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите y(1); углы в радианах.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.Сложная
В баке 400 L воды, в которой растворено 10 kg соли. Рассол с содержанием соли 0,25 kg на литр поступает со скоростью 10 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 25 min?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
Ответы
- 1. r = −2
- 2. k = 0,0611 h⁻¹
- 3. T = 67,08 °C
- 4. T = 18,46 °C
- 5. y(1) = 0,9333
- 6. m = 51,83 kg
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.