1.Лёгкая
Для уравнения y″ + 6y′ + 5y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Величина убывает по закону dy/dt = −k·y, где k > 0. При t = 0 она равна 250, а при t = 12 h — 200. Найдите константу скорости k в h⁻¹.
y(0) = 250y(12) = 200
k = h⁻¹
3.Средняя
Кованую стальную деталь температурой 340 °C оставили остывать в цехе при 24 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,02 min⁻¹ найдите температуру T через 12 min.
T0 = 340 °CTa = 24 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 12 min
T = °C
4.Средняя
Кованую стальную деталь температурой 380 °C оставили остывать в цехе при 23 °C. Через 35 min температура равна 111 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 299 °C?
T0 = 380 °CTa = 23 °CT(35) = 111 °CT = 299 °C
t = min
5.Сложная
Решите y″ + 4y′ + 20y = 0 при y(0) = 2 и y′(0) = 0 (отпущено из состояния покоя). Найдите y(0,5); углы в радианах.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 2y′ + 17y = 17 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите y(1,5); углы в радианах.
y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Ответы
- 1. r = −1
- 2. k = 0,0186 h⁻¹
- 3. T = 272,6 °C
- 4. t = 6,432 min
- 5. y(0.5) = 0,02833
- 6. y(1.5) = 0,8013
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.