1.Лёгкая
Система «масса–пружина–демпфер» описывается уравнением y″ + 2y′ + 100y = 0. Сравните его с y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 и найдите коэффициент демпфирования ζ.
y″ + 2y′ + 100y = 0
ζ =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Бактериальная культура вначале содержит 1000 клеток и растёт по закону dN/dt = k·N, где k = 0,18 h⁻¹. Через сколько часов t клеток станет 5000?
N0 = 1000k = 0,18 h⁻¹N = 5000
t = h
3.Средняя
Чашку кофе температурой 90 °C оставили в комнате при 18 °C. Через 27 min температура равна 23 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 90 °CTa = 18 °CT(27) = 23 °C
k = min⁻¹
4.Средняя
Чашку кофе температурой 83 °C оставили в комнате при 21 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,07 min⁻¹ найдите температуру T через 13 min.
T0 = 83 °CTa = 21 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 13 min
T = °C
5.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите максимальное значение ymax её переходной характеристики.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Сложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 5x при x > 0, y(1) = 5. Найдите y(3).
y′ + 2y/x = 5xy(1) = 5
y(3) =
Ответы
- 1. ζ = 0,1
- 2. t = 8,941 h
- 3. k = 0,09879 min⁻¹
- 4. T = 45,96 °C
- 5. ymax = 1,308
- 6. y(3) = 11,67
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.