1.Лёгкая
Для уравнения y″ + 6y′ + 5y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Для уравнения y″ + 7y′ + 12y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.Средняя
Чашку кофе температурой 86 °C оставили в комнате при 20 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,06 min⁻¹ найдите температуру T через 7 min.
T0 = 86 °CTa = 20 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 7 min
T = °C
4.Средняя
Решите y″ + 8y′ + 16y = 0 при y(0) = 5 и y′(0) = 1. Найдите y(2).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(2) =
5.Сложная
В баке 400 L воды, в которой растворено 5 kg соли. Рассол с содержанием соли 0,05 kg на литр поступает со скоростью 5 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 100 min?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 4y′ + 13y = 65 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите максимальное значение ymax её переходной характеристики.
y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ответы
- 1. r = −1
- 2. r = −3
- 3. T = 63,37 °C
- 4. y(2) = 0,01577
- 5. m = 15,7 kg
- 6. ymax = 5,616
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.