1.Лёгкая
Система «масса–пружина–демпфер» описывается уравнением y″ + 6,4y′ + 16y = 0. Сравните его с y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 и найдите коэффициент демпфирования ζ.
y″ + 6,4y′ + 16y = 0
ζ =
Дифференциальные уравнения: лист заданий с ответами
2.Лёгкая
Для уравнения y″ + 8y′ + 12y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
3.Средняя
Кованую стальную деталь температурой 440 °C оставили остывать в цехе при 21 °C. Через 35 min температура равна 94 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 21 °CT(35) = 94 °C
k = min⁻¹
4.Средняя
Чашку кофе температурой 81 °C оставили в комнате при 21 °C. Через 30 min температура равна 25 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 81 °CTa = 21 °CT(30) = 25 °C
k = min⁻¹
5.Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + y′ + 9,25y = 18,5 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите максимальное значение ymax её переходной характеристики.
y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Сложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 4 при x > 0, y(1) = 4. Найдите y(3).
y′ + 2y/x = 4y(1) = 4
y(3) =
Ответы
- 1. ζ = 0,8
- 2. r = −2
- 3. k = 0,04993 min⁻¹
- 4. k = 0,09027 min⁻¹
- 5. ymax = 3,185
- 6. y(3) = 4,296
Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.