Математический анализ функций нескольких переменных: лист заданий с ответами

Бесплатный лист заданий для печати по теме «Математический анализ функций нескольких переменных»: 6 задач от простых до экзаменационного уровня, с ответами. Распечатайте его или сохраните как PDF.

Новый лист заданийЗаниматься онлайн с подсказками

Для преподавателей: можно бесплатно печатать, копировать и использовать на занятиях. Каждый новый лист содержит новые значения и собственные ответы. Будем благодарны за ссылку на ExamProblems на странице вашего курса.

Имя: ____________________   Дата: ____________

1.Лёгкая

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²) найдите смешанную вторую частную производную ∂²f/∂x∂y в точке (2, 0,5).

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (2, 0,5)
fxy(2, 0.5) =
2.Лёгкая
xyx = 1x = 3y = 3y = 11331

Вычислите I = ∫13 ∫13 (6xy²) dy dx по прямоугольнику 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 6xy²1 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 3
I =
3.Средняя
xy−10123024vP

Для f(x, y) = 3 ln(x² + y²) найдите производную по направлению Duf в точке (1, 1) в направлении v = (−1, 4).

f(x, y) = 3 ln(x² + y²)P = (1, 1)v = (−1, 4)
Duf =
4.Средняя
xy33∇fP

Для f(x, y) = −4x²y + 5x² + 4xy найдите наибольшую скорость изменения f в точке (3, 3), то есть |∇f|.

f(x, y) = −4x²y + 5x² + 4xyP = (3, 3)
|∇f| =
5.Сложная
xy−505−2024(3, 1)(−3, 1)

Функция f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 2y имеет критическую точку (−3, 1). Вычислите там дискриминант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 2yP = (−3, 1)
D =
6.Сложная
xy10,5

Используйте полярные координаты, чтобы вычислить I = ∬R √(x² + y²) dA, где R — кольцо 0,25 ≤ x² + y² ≤ 1.

f = √(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

Ответы

  1. 1. fxy(2, 0.5) = −1,28
  2. 2. I = 208
  3. 3. Duf = 2,183
  4. 4. |∇f| = 38,42
  5. 5. D = −36
  6. 6. I = 1,833

Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.