Математический анализ функций нескольких переменных: лист заданий с ответами

Бесплатный лист заданий для печати по теме «Математический анализ функций нескольких переменных»: 6 задач от простых до экзаменационного уровня, с ответами. Распечатайте его или сохраните как PDF.

Новый лист заданий Заниматься онлайн с подсказками

Для преподавателей: можно бесплатно печатать, копировать и использовать на занятиях. Каждый новый лист содержит новые значения и собственные ответы. Будем благодарны за ссылку на ExamProblems на странице вашего курса.

Имя: ____________________ Дата: ____________

1.Лёгкая

Для f(x, y) = y·e^2xy найдите смешанную вторую частную производную ∂²f/∂x∂y в точке (2, 1).

f(x, y) = y·e^2xyP = (2, 1)

f_xy(2, 1) =

2.Лёгкая

Вычислите I = ∫₀¹ ∫₀² (−xy − 1) dy dx по прямоугольнику 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.

f = −xy − 10 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 2

I =

3.Средняя

Для f(x, y) = −y·e^3xy найдите наибольшую скорость изменения f в точке (0,5, 2), то есть |∇f|.

f(x, y) = −y·e^3xyP = (0,5, 2)

|∇f| =

4.Средняя

z = −4x³y + x³ + 3y³ − 4xy, где x = −t + 1 и y = −2t² + 2. Используйте цепное правило, чтобы найти dz/dt при t = 2.

z = −4x³y + x³ + 3y³ − 4xyx = −t + 1y = −2t² + 2t = 2

dz/dt =

5.Сложная

Используйте полярные координаты, чтобы вычислить I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA, где R — кольцо 1 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = e^{−(x² + y²)}1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π

I =

6.Сложная

Найдите критические точки функции f(x, y) = x³ + y³ − 9xy, классифицируйте их и укажите значение f_min функции f в её локальном минимуме.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy

f_min =

Ответы

1. f_xy(2, 1) = 655,2
2. I = −3
3. |∇f| = 254,1
4. dz/dt = −2755
5. I = 1,098
6. f_min = −27

Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.