Математический анализ функций нескольких переменных: лист заданий с ответами

Бесплатный лист заданий для печати по теме «Математический анализ функций нескольких переменных»: 6 задач от простых до экзаменационного уровня, с ответами. Распечатайте его или сохраните как PDF.

Новый лист заданийЗаниматься онлайн с подсказками

Для преподавателей: можно бесплатно печатать, копировать и использовать на занятиях. Каждый новый лист содержит новые значения и собственные ответы. Будем благодарны за ссылку на ExamProblems на странице вашего курса.

Имя: ____________________   Дата: ____________

1.Лёгкая

Для f(x, y) = −x²y² + 5x² + y² + 3xy найдите вторую частную производную ∂²f/∂x² в точке (−1, −2).

f(x, y) = −x²y² + 5x² + y² + 3xyP = (−1, −2)
fxx(−1, −2) =
2.Лёгкая

Для f(x, y) = −4xy² − 4x² − 2y² − 2xy найдите смешанную вторую частную производную ∂²f/∂x∂y в точке (−2, −2).

f(x, y) = −4xy² − 4x² − 2y² − 2xyP = (−2, −2)
fxy(−2, −2) =
3.Средняя
xy10,5P

Касательную плоскость к z = 3 ln(x² + 3y²) в точке, где (x, y) = (1, 0,5), можно записать как z = px + qy + c. Найдите c.

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)(a, b) = (1, 0,5)
c =
4.Средняя
xy2−1∇fP

Для f(x, y) = ln(x² + 2y²) найдите направление наискорейшего роста в точке (2, −1) как угол θ от положительной оси x, в градусах между −180° и 180°.

f(x, y) = ln(x² + 2y²)P = (2, −1)
θ = °
5.Сложная
xy2

Используйте полярные координаты, чтобы вычислить I = ∬R √(x² + y²) dA, где R — четверть круга x² + y² ≤ 4 в первой четверти.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Сложная
xy−50−202(−3, −1)

Функция f(x, y) = 3x² + 4xy + 3y² + 22x + 18y + 3 имеет критическую точку (−3, −1). Вычислите там дискриминант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = 3x² + 4xy + 3y² + 22x + 18y + 3P = (−3, −1)
D =

Ответы

  1. 1. fxx(−1, −2) = 2
  2. 2. fxy(−2, −2) = 14
  3. 3. c = −4,321
  4. 4. θ = −45 °
  5. 5. I = 4,189
  6. 6. D = 20

Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.