Математический анализ функций нескольких переменных: лист заданий с ответами

Бесплатный лист заданий для печати по теме «Математический анализ функций нескольких переменных»: 6 задач от простых до экзаменационного уровня, с ответами. Распечатайте его или сохраните как PDF.

Новый лист заданий Заниматься онлайн с подсказками

Для преподавателей: можно бесплатно печатать, копировать и использовать на занятиях. Каждый новый лист содержит новые значения и собственные ответы. Будем благодарны за ссылку на ExamProblems на странице вашего курса.

Имя: ____________________ Дата: ____________

1.Лёгкая

Вычислите I = ∫₁² ∫₁³ (2xy² − 1) dy dx по прямоугольнику 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 2xy² − 11 ≤ x ≤ 21 ≤ y ≤ 3

I =

2.Лёгкая

Для f(x, y) = 2 sin(2x − y) найдите частную производную ∂f/∂x в точке (1, 1).

f(x, y) = 2 sin(2x − y)P = (1, 1)

f_x(1, 1) =

3.Средняя

z = x²y + 5x² − 5y² + 2xy, где x = 2t − 2 и y = t² − 2. Используйте цепное правило, чтобы найти dz/dt при t = 2.

z = x²y + 5x² − 5y² + 2xyx = 2t − 2y = t² − 2t = 2

dz/dt =

4.Средняя

Для f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²) найдите наибольшую скорость изменения f в точке (1, 2), то есть |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (1, 2)

|∇f| =

5.Сложная

Функция f(x, y) = −2x² + 5xy − 2y² − 17x + 19y + 4 имеет критическую точку (−3, 1). Вычислите там дискриминант D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = −2x² + 5xy − 2y² − 17x + 19y + 4P = (−3, 1)

D =

6.Сложная

Используйте полярные координаты, чтобы вычислить I = ∬_R √(x² + y²) dA, где R — кольцо 1 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = √(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π

I =

Ответы

1. I = 24
2. f_x(1, 1) = 2,161
3. dz/dt = 16
4. |∇f| = 2,846
5. D = −9
6. I = 54,45

Полные пошаговые решения: занимайтесь этой темой на examproblems.com.