Оптимизация: лист заданий с ответами

Открытую коробку делают из квадратного листа картона 18 cm × 18 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите вырез x, при котором объём наибольший.

Прямоугольный загон огорожен 240 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите наибольшую общую площадь A, которую можно огородить.

Прямоугольный участок площадью 1200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €20 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 90 − 1q евро за единицу, а затраты C(q) = 200 + 50q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €45 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 300 + 20q + 0,25q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.