Оптимизация: лист заданий с ответами

Открытую коробку делают из квадратного листа картона 12 cm × 12 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите наибольший возможный объём V.

У фермера есть 40 m забора, чтобы огородить прямоугольное поле вдоль прямой реки. Вдоль реки забор не нужен. Найдите наибольшую площадь A, которую можно огородить.

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 500 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 190 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 19600 + 50q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

Театр продаёт 1750 билетов на спектакль по €25 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.