Оптимизация: лист заданий с ответами

У фермера есть 120 m забора, чтобы огородить прямоугольное поле вдоль прямой реки. Вдоль реки забор не нужен. Найдите наибольшую площадь A, которую можно огородить.

Прямоугольный загон огорожен 240 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите наибольшую общую площадь A, которую можно огородить.

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 108000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €15 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 2300 + 15q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €65 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1200 + 30q + 0,1q² евро. Найдите максимальную прибыль P.