Оптимизация: лист заданий с ответами

Прямоугольный загон огорожен 96 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите длину x, при которой общая площадь наибольшая.

У фермера есть 240 m забора, чтобы огородить прямоугольное поле вдоль прямой реки. Вдоль реки забор не нужен. Найдите длину y стороны, параллельной реке, при наибольшей площади.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

Прямоугольный участок площадью 400 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

Театр продаёт 440 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 150 − 0,5q евро за единицу, а затраты C(q) = 1600 + 60q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.