Оптимизация: лист заданий с ответами

Открытую коробку делают из прямоугольного листа картона 10 cm × 16 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите наибольший возможный объём V.

Прямоугольный загон огорожен 72 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите наибольшую общую площадь A, которую можно огородить.

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 500 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

Театр продаёт 1750 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 160 − 1q евро за единицу, а затраты C(q) = 200 + 120q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.