Оптимизация: лист заданий с ответами

У фермера есть 320 m забора, чтобы огородить прямоугольное поле вдоль прямой реки. Вдоль реки забор не нужен. Найдите длину x каждой стороны, перпендикулярной реке, при наибольшей площади.

Прямоугольный загон огорожен 72 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите наибольшую общую площадь A, которую можно огородить.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

Прямоугольный участок площадью 600 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €55 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 300 + 18q + 0,5q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

Театр продаёт 440 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.