สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
เงินงวดจ่าย €1 500 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 12 ปี อัตราดอกเบี้ย 7% ต่อปี จงหามูลค่าปัจจุบัน PV ของเงินงวด
คุณกู้ €10 000 ที่ดอกเบี้ย 7.2% ต่อปี ทบต้นรายเดือน และชำระ €200 ทุกสิ้นเดือน ต้องใช้กี่เดือนจึงชำระหนี้หมด (งวดสุดท้ายอาจน้อยกว่า) ตอบเป็นจำนวนงวดที่ชำระ N
เครื่องจักรมีต้นทุนวันนี้ €60 000 ให้เงิน €22 500 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 3 ปี แล้วขายต่อได้ €12 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 6% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV
โครงการ A มีต้นทุน €10 000 และให้ผลตอบแทน €5 500, €4 000, €2 500 ทุกสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 โครงการ B มีต้นทุน €12 000 และให้ผลตอบแทน €3 000, €4 500, €7 000 จงหาอัตราตัดกัน r* ที่โครงการทั้งสองมี NPV เท่ากัน เป็นเปอร์เซ็นต์
พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 จ่ายดอกเบี้ยรายปี 7% แบ่งเป็นสองงวดต่อปี และครบกำหนดใน 7 ปี อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดคือ 3% ต่อปี หาราคา P ของพันธบัตร
พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ €1 000 ดอกเบี้ยรายปี 4% ครบกำหนดใน 9 ปี ขายในราคา €930 หาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด YTM เป็นเปอร์เซ็นต์
บริษัทมีส่วนของผู้ถือหุ้นมูลค่า €8 000 000 และหนี้สินมูลค่า €3 000 000 ต้นทุนของส่วนผู้ถือหุ้นคือ 8% ต้นทุนหนี้ก่อนภาษีคือ 4% และอัตราภาษีคือ 20% หา WACC
บริษัทมีหุ้น 5 000 000 หุ้นซื้อขายที่ €21.50 มูลค่าตามบัญชีของส่วนของผู้ถือหุ้นคือ €32 300 000 เพิ่งจ่ายเงินปันผล €1.50 ต่อหุ้น และเงินปันผลเติบโต 3% ต่อปี หนี้มีมูลค่าตลาด €64 500 000 และต้นทุนก่อนหักภาษี 3% อัตราภาษีคือ 20% จงหา WACC โดยใช้แบบจำลองการเติบโตของเงินปันผลสำหรับต้นทุนของส่วนของผู้ถือหุ้น
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 42, 53, 25, 59, 46, 39
คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 410
ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 6 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด
เกมหนึ่งมีค่าเล่น €5 คุณชนะ €15 ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และ €250 ด้วยความน่าจะเป็น 0.02 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม
ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.6628 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง
เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.04 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 8 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย 7.4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7.6 จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับผลต่างเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 10 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 3
ตัวอย่างนักเรียน 36 คนมีคะแนนเฉลี่ย 79 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 20 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 75
ต้องใช้ขนาดตัวอย่างเท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 8 หาขนาดตัวอย่างที่น้อยที่สุด n
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (23.5, 59) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ
คำตอบ: PV = 11914 €
มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด
คำตอบ: N = 60 งวด
มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด
การชำระเต็ม 59 งวดยังเหลือยอดเล็กน้อย ซึ่งงวดสุดท้ายที่น้อยกว่าจะชำระให้หมด
คำตอบ: NPV = 10218 €
มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0
คำตอบ: r* = 4.59 %
อัตราตัดกัน: อัตราคิดลดที่โครงการสองโครงการมี NPV เท่ากัน คือ IRR ของผลต่างกระแสเงินสด (B − A) ต่ำกว่าอัตรานี้ โครงการที่มีกระแสเงินสดมากกว่าและมาช้ากว่ามี NPV สูงกว่า สูงกว่าอัตรานี้ โครงการอีกโครงการหนึ่งชนะ
ตรวจสอบ: ที่ 4.59% NPV ทั้งสองเป็น €1 100.42
คำตอบ: P = 1251 €
การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน
อัตราผลตอบแทนต่ำกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจึงขายสูงกว่ามูลค่าที่ตราไว้
คำตอบ: YTM = 4.984 %
การตั้งราคาพันธบัตร: ราคาของพันธบัตรคือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด คิดลดที่อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด (YTM): ดอกเบี้ยจ่ายเป็นเงินงวด และมูลค่าที่ตราไว้จ่ายคืนเมื่อครบกำหนด P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ เมื่ออัตราผลตอบแทนสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยตราสาร พันธบัตรจะซื้อขายต่ำกว่ามูลค่าที่ตราไว้ และกลับกัน
คำตอบ: WACC = 6.691 %
ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: re = rf + β·(rm − rf) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)
คำตอบ: WACC = 7.266 %
ต้นทุนเงินทุน: CAPM ให้ผลตอบแทนที่ผู้ถือหุ้นต้องการ: re = rf + β·(rm − rf) ต้นทุนเงินทุนถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักผสมส่วนของผู้ถือหุ้นและหนี้สินตามมูลค่าตลาด: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T) โดย V = E + D ดอกเบี้ยหักภาษีได้ จึงมี (1 − T)
คำตอบ: s = 11.83
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คำตอบ: z = −1.5
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คำตอบ: P = 0.6651
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
คำตอบ: E(G) = 4.5 €
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน
คำตอบ: z = −0.42
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
หา 0.3372 ในตารางและอ่านค่า z
คำตอบ: P = 0.9452
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 12.49 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
คำตอบ: n = 31
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป
คำตอบ: t = 1.2
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
|t| < 2.03 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
คำตอบ: n = 189
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
คำตอบ: r = 0.976
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
คำตอบ: e = 5.167
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
จุดนี้อยู่เหนือเส้นตรง
นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น CFA® and Chartered Financial Analyst® เป็นเครื่องหมายการค้าของ CFA Institute ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems ไม่ได้รับรอง และไม่รับประกันความถูกต้องของ ExamProblems
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income