วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (3s + 28)/(s² + 11s + 24) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−3t + B·e^−8t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (3s + 28)/(s² + 11s + 24)

A =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ y″ + 4y′ + 5y = 4u′ + 16u โดยมีอินพุต u(t) และเอาต์พุต y(t) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = Y(s)/U(s) (เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) และหาผลตอบสนองอิมพัลส์ g(t) ที่ t = 0.8 s จงหา g(0.8)

y″ + 4y′ + 5y = 4u′ + 16ut = 0.8 s

g(0.8) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

วงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 8(s + 3)/((s + 1)(s + 2)) ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 2 ที่สัญญาณอ้างอิง จงหาค่าผิดพลาดสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 8(s + 3)/((s + 1)(s + 2))R = 2

e_ss =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ลดรูปแผนภาพบล็อกที่มี G₁ = 9/(s + 5), G₂ = 3/(s + 8) การป้อนกลับลบภายใน H₁ = 2 รอบ G₂ และการป้อนกลับลบภายนอก H₂ = 0.2 จงหาอัตราขยาย DC T(0) ของ C(s)/R(s)

G₁ = 9/(s + 5)G₂ = 3/(s + 8)H₁ = 2H₂ = 0.2

T(0) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 33.5/(s² + 13s + 67) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

G(s) = 33.5/(s² + 13s + 67)

ζ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 6 Ω, L = 100 mH และ C = 100 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 24 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ

R = 6 ΩL = 100 mHC = 100 µFV = 24 V

%OS = %

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6)) อัตราขยายถูกเพิ่มจนวงปิดอยู่ที่ขอบของเสถียรภาพ จงหาความถี่ ω ของการสั่นที่คงอยู่

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))

ω = rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K/((s + 2)(s + 10)(s + 4)) จงหาจุด σ_a ที่เส้นกำกับของ root locus ตัดแกนจริง

L(s) = K/((s + 2)(s + 10)(s + 4))

σ_a =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

อินพุตพาราโบลา r(t) = 10·t²/2 ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 20(s + 5)/(s²(s + 1)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 20(s + 5)/(s²(s + 1))r(t) = 10·t²/2

e_ss =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 4 ขับโรงงาน G(s) = 4/(s(s + 4)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 4/(s(s + 4))K = 4

t_p = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 5 Ω โดย L = 20 mH และ C = 1 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 5 ΩL = 20 mHC = 1 µF

Q =

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ขอบอัตราขยาย 6 dB

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))GM = 6 dB

K =

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 3.8

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 11s + 24 = (s + 3)(s + 8)

F(s) = A/(s + 3) + B/(s + 8)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 3) และตั้ง s = −3: พจน์ B หายไป

A = (3s + 28)/(s + 8) |_{s = −3} = 19/5 = 3.8

คำตอบ

A = 3.8

(B = −0.8 ดังนั้น f(t) = 3.8·e^−3t − 0.8·e^−8t)

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: g(0.8) = 1.721

ฟังก์ชันถ่ายโอน

G(s) = Y(s)/U(s) = (4s + 16)/(s² + 4s + 5)

เศษส่วนย่อย

s² + 4s + 5 = (s + 2)² + 1²

G(s) = 4·(s + 2)/((s + 2)² + 1²) + (8/1)·1/((s + 2)² + 1²)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

g(t) = e^−2t·(4·cos 1t + 8·sin 1t)

g(0.8) = 1.721

คำตอบ

g(0.8) = 1.721

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: e_ss = 0.1538

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ค่าคงที่ความผิดพลาดตำแหน่ง

Kₚ = G(0) = 8·3/(1·2) = 12

ค่าผิดพลาดสถานะคงตัว

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 12) = 0.1538

คำตอบ

e_ss = 0.1538

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.3581

วงใน

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 3/(s + 14)

วงนอก

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 27/((s + 5)(s + 14) + 5.4)

อัตราขยาย DC

T(0) = 27/(5·14 + 5.4) = 27/75.4 = 0.3581

คำตอบ

T(0) = 0.3581

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.7941

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 67 → ωₙ = 8.185 rad/s

2ζωₙ = 13 → ζ = 13/(2·8.185) = 0.7941

ผลลัพธ์

ζ = 0.7941

คำตอบ

ζ = 0.7941

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 74.13 %

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1 × 10⁻⁴) = 316.2 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (6/2)·√(1 × 10⁻⁴/0.1) = 0.09487

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 74.13 %

คำตอบ

%OS = 74.13 %

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 2.449 rad/s

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 7s² + 6s + K = 0

s³: 1, 6

s²: 7, K

s¹: (7·6 − K)/7

s⁰: K

อัตราขยายวิกฤต

K = 7·6 = 42

สมการช่วย

ที่อัตราขยายวิกฤตแถว s¹ เป็นศูนย์ แถว s² ให้โพลบนแกนจินตภาพ

7s² + 42 = 0 → s = ±j√6

ω = 2.449 rad/s

คำตอบ

ω = 2.449 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: σ_a = −5.333

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

โพลและศูนย์

โพล: −2, −10, −4

n − m = 3 − 0 = 3

เซนทรอยด์

σ_a = (−16)/3 = −5.333

คำตอบ

σ_a = −5.333

เส้นกำกับ 3 เส้นออกจากเซนทรอยด์ที่มุม 60°, 180°, 300°

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 0.1

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร่ง

K_a = 20·5/1 = 100

ค่าความคลาดเคลื่อนของพาราโบลา

e_ss = 10/100 = 0.1

คำตอบ

e_ss = 0.1

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: t_p = 0.9069 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 4) + 4·4 = s² + 4s + 16

ωₙ และ ζ

ωₙ = √16 = 4 rad/s

ζ = 4/(2·4) = 0.5

เวลาถึงจุดสูงสุด

ω_d = 4·√(1 − 0.5²) = 3.464 rad/s

t_p = π/3.464 = 0.9069 s

คำตอบ

t_p = 0.9069 s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: Q = 28.28

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·1 × 10⁻⁶) = 7071 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 1125 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

BW = R/L = 5/0.02 = 250 rad/s = 39.79 Hz

Q = ω₀/BW = 7071/250 = 28.28

คำตอบ

Q = 28.28

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: K = 481.1

จุดตัดเฟส

(ω/6)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·10) = 7.746 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 36)·√(ω² + 100)) = K/(6·10·(6 + 10)) = K/960

อัตราขยายที่ต้องการ

960/K = 10^6/20 = 1.995

K = 960/1.995 = 481.1

คำตอบ

K = 481.1

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1