สมการเชิงอนุพันธ์
- การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- ครึ่งชีวิต
- k = ln 2 / t½
- กฎการเย็นตัวของนิวตัน
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- ตัวประกอบอินทิเกรต
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- ถังผสม
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
อินทิกรัล
- กฎกำลัง
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- อินทิกรัลจำกัดเขต
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- อินทิกรัลที่พบบ่อย
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
- ∫ab (f − g) dx
วิธีการ
- เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
- ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
- ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
- สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)
อนุพันธ์
- กฎกำลัง
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- กฎผลคูณ
- (uv)′ = u′v + uv′
- กฎผลหาร
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- กฎลูกโซ่
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- อนุพันธ์ที่พบบ่อย
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
วิธีการ
- ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
- ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
- ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
- ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม
วิธีเชิงตัวเลข
- วิธีแบ่งครึ่ง
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- นิวตัน–ราฟสัน
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- ออยเลอร์
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ฮอยน์
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
วิธีการ
- สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
- สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
- สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
- สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ
2โจทย์ฝึก
1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 82 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 22 °C หลังผ่านไป 28 min อุณหภูมิเท่ากับ 30 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 24 °C
T0 = 82 °CTa = 22 °CT(28) = 30 °CT = 24 °C
t = min
2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
จงแก้ y″ + y′ + 9.25y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(1.5) มุมเป็นเรเดียน
y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
3.อินทิกรัลปานกลาง
บริเวณใต้ y = x จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)
y = x0 ≤ x ≤ 3
V =
4.อินทิกรัลยาก
บริเวณระหว่างเส้นตรง y = x กับพาราโบลา y = x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง
y = xy = x²
V =
5.อนุพันธ์ปานกลาง
ให้ f(x) = (2x − 3)4 หา f′(1)
f(x) = (2x − 3)4x = 1
f′(1) =
6.อนุพันธ์ยาก
เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x2 + 5x − 4 ที่ x = −1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b
f(x) = 0.5x2 + 5x − 4x = −1
b =
7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง
ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับ ∫01 sin x dx ความคลาดเคลื่อนมากที่สุด (b − a)³·M/(12n²) โดย M = max|f″| บน [0, 1] จงหาจำนวนแถบที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 0.0001
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0.0001
n =
8.วิธีเชิงตัวเลขยาก
ใช้วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) ด้วย h = 0.2 สำหรับ y′ = e−ty, y(0) = 0 เพื่อประมาณ y2 ≈ y(0.4)
y′ = e−tyy(0) = 0h = 0.2
y2 =
3สารละลาย
1.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: t = 47.26 min
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C
ค่าคงที่การเย็นตัว
k = ln(60/8)/28 = 0.07196 min⁻¹
เวลาที่ถึงเป้าหมาย
t = ln(60/2)/0.07196 = 47.26 min
คำตอบ
t = 47.26 min
2.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: y(1.5) = −0.8827
สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ
รากเชิงซ้อน
r = −0.5 ± 3j
ค่าคงที่
A = 5, B = 0.5·5/3 = 0.8333
คำนวณค่า
y(1.5) = e−0.75(5·cos 4.5 + 0.8333·sin 4.5) = −0.8827
คำตอบ
y(1.5) = −0.8827
3.อินทิกรัล
คำตอบ: V = 28.27
ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน
วิธีจาน
V = π∫₀3 1x² dx
อินทิเกรต
V = π·1·3³/3 = 28.27
คำตอบ
V = 28.27
ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 3 และสูง 3 มี (1/3)πr²h = 28.27
4.อินทิกรัล
คำตอบ: V = 0.4189
ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน
จุดตัด
1x = 1x² → x = 0, x = 1
วิธีวงแหวน
V = π∫₀1 ((1x)² − (1x²)²) dx
อินทิเกรต
V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0.1333 = 0.4189
คำตอบ
V = 0.4189
5.อนุพันธ์
คำตอบ: f′(1) = −8
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
กฎลูกโซ่
f′(x) = 4·(2x − 3)3·2
แทนค่า
f′(1) = 4·(−1)3·2 = −8
คำตอบ
f′(1) = −8
6.อนุพันธ์
คำตอบ: b = −4.5
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
จุดและความชัน
f(−1) = −8.5
f′(x) = x + 5 → f′(−1) = 4
เส้นสัมผัสที่ x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −8.5 − 4·(−1) = −4.5
คำตอบ
b = −4.5
7.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: n = 27
การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน
ขอบเขตของอนุพันธ์อันดับสอง
M = sin 1 = 0.8415
แก้หา n
n² > 1·0.8415/(12·0.0001) = 701.2
n > 26.48 → n = 27
คำตอบ
n = 27
8.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: y2 = 0.3778
คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴
ขั้นของฮอยน์
y₁ = 0 + (0.2/2)(1 + 0.960789) = 0.196079
y₂ = 0.196079 + (0.2/2)(0.961543 + 0.856111) = 0.377844
กราฟ
y2 = 0.3778
คำตอบ
y2 = 0.3778
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations