คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
  2. สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
  3. ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
  4. สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
  5. สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
pqrq ↔ ¬pr ∨ (q ↔ ¬p)(r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p))111?110?101?100?011?010?001?000?

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p))
N =
2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
abcb → ca → cb → a111110101100011010001000

การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน b → c; a → c และบทสรุป b → a ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน

b → ca → c∴ b → a
  1. 1a = 1, b = 1, c = 1
  2. 2a = 1, b = 1, c = 0
  3. 3a = 1, b = 0, c = 1
  4. 4a = 1, b = 0, c = 0
  5. 5a = 0, b = 1, c = 1
  6. 6a = 0, b = 1, c = 0
  7. 7a = 0, b = 0, c = 1
  8. 8a = 0, b = 0, c = 0
3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง
UABC12345678

มีบริเวณเดียวพอดีของแผนภาพเวนน์ที่เป็นเซต (A ∩ C) ∩ (B ∪ A′) ให้คลิกหมายเลขของบริเวณนั้น

(A ∩ C) ∩ (B ∪ A′)
  1. 1บริเวณ 1
  2. 2บริเวณ 2
  3. 3บริเวณ 3
  4. 4บริเวณ 4
  5. 5บริเวณ 5
  6. 6บริเวณ 6
  7. 7บริเวณ 7
  8. 8บริเวณ 8
4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก
x12345f(x)31324g(x)12112

ฟังก์ชัน f และ g บน {1, 2, 3, 4, 5} กำหนดด้วยตาราง จงหา (f ∘ g)(5)

f: 1 ↦ 3, 2 ↦ 1, 3 ↦ 3, 4 ↦ 2, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 1, 4 ↦ 1, 5 ↦ 2
(f ∘ g)(5) =
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K7 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K7
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
106201272193814ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 10
W =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 7 (mod 9) และ x ≡ 9 (mod 11)

x ≡ 7 (mod 9)x ≡ 9 (mod 11)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

12x ≡ 6 (mod 45) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 44}

12x ≡ 6 (mod 45)
N =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 2

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, ¬p = 0, q ↔ ¬p = 0, r ∨ (q ↔ ¬p) = 1, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, ¬p = 0, q ↔ ¬p = 0, r ∨ (q ↔ ¬p) = 0, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, ¬p = 0, q ↔ ¬p = 1, r ∨ (q ↔ ¬p) = 1, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, ¬p = 0, q ↔ ¬p = 1, r ∨ (q ↔ ¬p) = 1, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, ¬p = 1, q ↔ ¬p = 1, r ∨ (q ↔ ¬p) = 1, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, ¬p = 1, q ↔ ¬p = 1, r ∨ (q ↔ ¬p) = 1, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, ¬p = 1, q ↔ ¬p = 0, r ∨ (q ↔ ¬p) = 1, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, ¬p = 1, q ↔ ¬p = 0, r ∨ (q ↔ ¬p) = 0, (r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)) = 0

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

(r ∧ q) ∧ (r ∨ (q ↔ ¬p)): 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0
N = 2

คำตอบ

N = 2
2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: a = 0, b = 1, c = 1

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 0 0 | 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 1
a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 0
a = 0, b = 1, c = 0: 0 1 | 0
a = 0, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

ตัวอย่างค้าน

a = 0, b = 1, c = 1

คำตอบ

a = 0, b = 1, c = 1

การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: บริเวณ 1

เซตและแผนภาพเวนน์: A ∪ B มีสมาชิกใน A หรือ B (หรือทั้งสอง) A ∩ B มีสมาชิกในทั้งสอง A − B มีสมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B และคอมพลีเมนต์ A′ คือทุกอย่างใน U ที่ไม่อยู่ใน A ในแผนภาพเวนน์ นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบริเวณ จึงนับทีละบริเวณได้ หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| และ |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

ภายในหรือภายนอกแต่ละเซต

A ∩ B ∩ C

บริเวณ

บริเวณ 1

คำตอบ

บริเวณ 1
4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: (f ∘ g)(5) = 1

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

ฟังก์ชันด้านใน

g(5) = 2

ฟังก์ชันด้านนอก

f(2) = 1
(f ∘ g)(5) = 1

คำตอบ

(f ∘ g)(5) = 1
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 360

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

คำตอบ

H = 360
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 38

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

DF (2): เลือก
GB (3): เลือก
AC (6): เลือก
CE (7): เลือก
GC (8): เลือก
AB (10): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BD (12): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 2 + 3 + 6 + 7 + 8 + 12 = 38

คำตอบ

W = 38
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 97

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ความสอดคล้องข้อแรก

x = 7 + 9k

ความสอดคล้องข้อที่สอง

7 + 9k ≡ 9 (mod 11) → 9k ≡ 2 (mod 11)
k ≡ 5·2 ≡ 10 (mod 11)

ผลลัพธ์

x = 7 + 9·10 = 97
x = 97
ตรวจสอบ: 97 mod 9 = 7, 97 mod 11 = 9

คำตอบ

x = 97
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 3

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

หารด้วย gcd

gcd(12, 45) = 3
4x ≡ 2 (mod 15)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

4−1 ≡ 4 (mod 15) → x ≡ 8 (mod 15)

คำตอบมอดูโล 45

x ∈ {8, 23, 38}
N = 3

คำตอบ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics