พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 80 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 8 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 8 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 9 kg และ 1 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 9 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 6.5 kg บนทางลาด 40° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 10 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 6.5 kgm₂ = 10 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 26 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 18 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 26 m/sθ = 20°x = 18 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 27 m/s ที่มุม 70° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 22 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 27 m/sθ = 70°h_roof = 22 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ทางโค้งรัศมี 380 m เอียง 15° รถผ่านได้ด้วยอัตราเร็ว v เท่าใดโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทานเลย ใช้ g = 9.81 m/s²

r = 380 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลผูกกับเชือกยาว 1.4 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² อัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่จุดสูงสุดที่ทำให้เชือกยังตึงอยู่พอดีคือเท่าใด

r = 1.4 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 7 m

θ = 25°μ = 0.2d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 5 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.4) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 4 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 2.5 m

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.4d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 4.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 9 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 2000 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 800 kg ซากรถติดกันและไถลไป 19 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.7 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 2000 kgm₂ = 800 kgd = 19 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 14.5 kg ยาว 2.7 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและจับให้อยู่ในแนวนอน ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่งเชิงมุม α ทันทีหลังปล่อย

m = 14.5 kgL = 2.7 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

จานตันสม่ำเสมอ (มวล 23 kg รัศมี 0.15 m) หมุนอิสระที่ 900 rpm รอบเพลาแนวดิ่งไร้แรงเสียดทาน วงแหวนบางมวล 16 kg รัศมีเท่ากันถูกปล่อยลงบนมันจากหยุดนิ่ง ให้ศูนย์กลางตรงกับเพลา และทั้งสองหมุนไปด้วยกันอย่างรวดเร็ว พลังงานจลน์ ΔE สูญเสียไปในกระบวนการเท่าใด

M_disc = 23 kgM_ring = 16 kgR = 0.15 mn₁ = 900 rpm

ΔE = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 120 mm ที่ 1440 rpm แรงตึงคือ 400 N ที่ด้านตึงและ 200 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (24 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1500 rpm ขับเฟือง B (48 ฟัน) เฟือง C (15 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (50 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1500 rpmA = 24B = 48C = 15D = 50

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 0.7 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 3.1 kg บนสปริงที่ k = 240 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 17 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 3.1 kgk = 240 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 500 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 150 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 2600 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 500 kgk = 150 kN/mc = 2600 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 20 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 40 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 49.38 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5) = 49.38 m

คำตอบ

s = 49.38 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 28.26 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 25 + 3.262 = 28.26 m

คำตอบ

h_max = 28.26 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 17.66 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (9 − 1)·9.81/(9 + 1) = 7.848 m/s²

แรงตึงจากมวลที่เบากว่า

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9.81 + 7.848) = 17.66 N

คำตอบ

T = 17.66 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 69.41 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 40.99 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.769 N

ความเร่งของระบบ

a = (98.1 − 40.99 − 9.769)/16.5 = 2.869 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9.81 − 2.869) = 69.41 N

คำตอบ

T = 69.41 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 3.889 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 26·cos 20° = 24.43 m/s

t = x/v_x = 18/24.43 = 0.7367 s

ความสูงขณะนั้น

y = 8.893·0.7367 − ½·9.81·0.7367² = 3.889 m

คำตอบ

y = 3.889 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 37.59 m

แยกความเร็วต้น

v_x = 9.235 m/s, v_y = 25.37 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

22 = 25.37·t − 4.905·t²

t = (25.37 + √(25.37² − 2·9.81·22))/9.81 = 4.071 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 9.235·4.071 = 37.59 m

คำตอบ

x = 37.59 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 31.6 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

สมดุลแรง

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

อัตราเร็ว

v = √(r·g·tan θ) = √(380·9.81·tan 15°) = 31.6 m/s

คำตอบ

v = 31.6 m/s

(113.8 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 3.706 m/s

แรงตึงเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.4) = 3.706 m/s

คำตอบ

v_min = 3.706 m/s

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.757 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 5.757 m/s

คำตอบ

v = 5.757 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.302 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 39.24·2.5 = 98.1 J

μ·m₁g·d = 0.4·49.05·2.5 = 49.05 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 49.05 → v = √(2·49.05/9) = 3.302 m/s

คำตอบ

v = 3.302 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 13.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·9 = 4.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·9 = 13.5 m/s

คำตอบ

v′₂ = 13.5 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 22.62 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·19) = 16.15 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·16.15/2000 = 22.62 m/s

คำตอบ

v₁ = 22.62 m/s

(81.42 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: α = 5.45 rad/s²

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

โมเมนต์รอบหมุด

ขณะปล่อย ω = 0 จึงไม่มีความเร่งสู่ศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางเร่งลงตรง ๆ

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.7) = 5.45 rad/s²

คำตอบ

α = 5.45 rad/s²

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ΔE = 668.6 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = ½·23·0.15² = 0.2587 kg·m²

I₂ = 16·0.15² = 0.36 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 900·0.2587/0.6187 = 376.4 rpm

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

E₁ = ½·0.2587·94.25² = 1149 J

E₂ = ½·0.6187·39.41² = 480.6 J

ΔE = 1149 − 480.6 = 668.6 J

คำตอบ

ΔE = 668.6 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 1.81 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 9.048 m/s

กำลัง

P = (400 − 200)·9.048 = 1810 W = 1.81 kW

คำตอบ

P = 1.81 kW

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 225 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1500·24/48 = 750 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 750·15/50 = 225 rpm

คำตอบ

n_out = 225 rpm

อัตราทดรวม = 6.667 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 1.678 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

คำตอบ

T = 1.678 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 13.16 m/s²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(240/3.1) = 8.799 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.17·8.799² = 13.16 m/s²

คำตอบ

a_max = 13.16 m/s²

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1501

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·500) = 17321 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 2600/17321 = 0.1501

คำตอบ

ζ = 0.1501

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.978 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 100 + 40 = 140 kN/m

k_eq = 140·20/(140 + 20) = 17.5 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(17500/50) = 18.71 rad/s

f_n = 18.71/(2π) = 2.978 Hz

คำตอบ

f_n = 2.978 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics