พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 23 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 23 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 10 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 9 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 9 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 9.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 9.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 34 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 15 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

วิศวกรถนนต้องการให้รถผ่านทางโค้งรัศมี 340 m ด้วย 50 km/h โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมเอียง θ

r = 340 mv = 50 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นมวล 4 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 38 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 10 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก N_bottom ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดต่ำสุดของลูป

m = 4 kgh = 38 mR = 10 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงไป 3 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.1 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 2 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 25° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 15 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 5 m

m = 2 kgF = 15 Nθ = 25°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 19 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 10 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 10 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 58 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 9 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 19 kgu = 10 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 58 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.15 kg กระทบผนังด้วย 10 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 6 m/s การสัมผัสใช้เวลา 20 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.15 kgv_in = 10 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

ก้อนมวล 8.5 kg ห้อยจากเชือกเบาที่พันรอบรอก ซึ่งเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 7 kg รัศมี 0.25 m ที่หมุนบนแกนนอนไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนมวลจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนมวลหลังตกลงมา 2.5 m

m = 8.5 kgM = 7 kgR = 0.25 mg = 9.81 m/s²h = 2.5 m

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน มวล 13.5 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 7 m/s พลังงานจลน์รวมของมันกี่เปอร์เซ็นต์ p เป็นพลังงานการหมุน

m = 13.5 kgv = 7 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 36 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 45 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 1.5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 36N₂ = 45η = 100%

T₁ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (16 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (40 ฟัน) เฟือง C (25 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (45 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1450 rpmA = 16B = 40C = 25D = 45

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว 0.5 m ใช้ g = 9.81 m/s² หาคาบ T สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ

L = 0.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 2.7 kg บนสปริงที่ k = 150 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 12 cm แล้วปล่อย หาพลังงานรวม E ของการสั่น

m = 2.7 kgk = 150 N/mA = 12 cm

E = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 50 mm ตามด้วยยอด 34.3 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 50 mmx₃ = 34.3 mmn = 3

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 80 kN/m และ k₂ = 20 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 23 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/2 = 23 s

คำตอบ

t = 23 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 46 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 40.1 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 35 + 5.097 = 40.1 m

คำตอบ

h_max = 40.1 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.421 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

คำตอบ

a = 4.421 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 21.36 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 9.32)/12 = 1.267 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·1.267 + 9.32 = 21.36 N

คำตอบ

T = 21.36 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.456 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 40° = 26.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 40° = 21.85 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·21.85/9.81 = 4.456 s

คำตอบ

t = 4.456 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.371 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 55° = 8.604 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 55° = 12.29 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 40 + 12.29·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.29 + √(151 + 784.8))/9.81 = 4.371 s

คำตอบ

t = 4.371 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: θ = 3.31 °

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

หน่วย

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

มุมเอียง

tan θ = v²/(r·g) = 13.89²/(340·9.81) = 0.05783

θ = 3.31°

คำตอบ

θ = 3.31°

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: N_bottom = 337.5 N

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·38 = 745.6 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R + m·g = 4·745.6/10 + 39.24 = 337.5 N

คำตอบ

N_bottom = 337.5 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 26.67 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 98.1·0.9063 = 88.91 N

F = μN = 0.1·88.91 = 8.891 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 8.891·3 = 26.67 J

คำตอบ

W_f = 26.67 J

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 4.495 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 8.292 N

μ·mg·cos θ = 2.667 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (15 − 10.96)·5 = 20.2 J

v = √(2·20.2/2) = 4.495 m/s

คำตอบ

v = 4.495 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −43.33 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 19·10 = 190 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

190 = 10·58 + 9·v′₂

v′₂ = (190 − 580)/9 = −43.33 m/s

คำตอบ

v′₂ = −43.33 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 120 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.15·(6 + 10) = 2.4 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 2.4/0.02 = 120 N

คำตอบ

F_avg = 120 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 5.894 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

ก้อนมวลและรอก

ก้อนวัตถุ: m·g − T = m·a

รอก: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

ความเร่ง

a = m·g/(m + M/2) = 8.5·9.81/(8.5 + 3.5) = 6.949 m/s²

อัตราเร็วหลังตก

v = √(2·a·h) = √(2·6.949·2.5) = 5.894 m/s

คำตอบ

v = 5.894 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: p = 28.57 %

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·13.5·7² = 330.8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·330.8 = 132.3 J

สัดส่วนการหมุน

p = 132.3/463.1·100% = c/(1 + c)·100% = 28.57%

คำตอบ

p = 28.57 %

สัดส่วนขึ้นกับรูปร่างเท่านั้น ไม่ขึ้นกับมวลหรืออัตราเร็ว

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 9.947 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m

คำตอบ

T₁ = 9.947 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 322.2 rpm

ขั้นแรก

n_B = 1450·16/40 = 580 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 580·25/45 = 322.2 rpm

คำตอบ

n_out = 322.2 rpm

อัตราทดรวม = 4.5 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: T = 1.419 s

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบของลูกตุ้ม

T = 2π·√(0.5/9.81) = 1.419 s

คำตอบ

T = 1.419 s

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: E = 1.08 J

ความถี่เชิงมุม

ω = √(150/2.7) = 7.454 rad/s

พลังงาน

E = ½·k·A² = ½·150·0.12² = 1.08 J

คำตอบ

E = 1.08 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.01999

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/3)·ln(50/34.3) = 0.1256

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1256/√(39.48 + 0.01578) = 0.01999

คำตอบ

ζ = 0.01999

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 22.51 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 80 + 20 = 100 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(100000/5) = 141.4 rad/s

f_n = 141.4/(2π) = 22.51 Hz

คำตอบ

f_n = 22.51 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics