พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 54 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 6 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 6 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 10 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 25° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 35° ด้วยอัตราเร็ว 5 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 70° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 32 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 60 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 35 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 35 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

รถเข็นเล็กถูกปล่อยจากหยุดนิ่งบนรางไร้แรงเสียดทานและวิ่งเข้าสู่ลูปแนวดิ่งรัศมี 1 m ต้องเริ่มจากความสูงต่ำสุด h_min เหนือฐานของลูปเท่าใดจึงจะอยู่บนรางที่จุดสูงสุดของลูป

R = 1 mv₀ = 0

h_min = m

9.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 5 kg แขวนบนเชือกเบายาว 1 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 45° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 5 kgL = 1 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 3 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.2) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 1 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 2.5 m

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0.2d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 6 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 29 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 2 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 36 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 4 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 6 kgu = 29 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 36 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 900 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 1700 kg ซากรถติดกันและไถลไป 16.5 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.6 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 900 kgm₂ = 1700 kgd = 16.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 9.5 kg ยาว 1.1 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 4.5 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของปลายอิสระขณะแท่งแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 9.5 kgL = 1.1 mm_ball = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 35° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของจุดศูนย์กลางของมัน

θ = 35°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 2880 rpm แรงตึงคือ 1000 N ที่ด้านตึงและ 400 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 400 N

P = kW

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 125 mm กับพูลเลย์ 300 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 500 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 125 mmd₂ = 300 mmC = 500 mm

θ = °

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 2.3 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 2.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวลบนสปริง k = 220 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 13 cm จงหาพลังงาน U ที่สะสมในสปริงเมื่อมวลอยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 6 cm

k = 220 N/mA = 13 cmx = 6 cm

U = J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 50 mm ตามด้วยยอด 23.5 mm หลังจากนั้น 4 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 50 mmx₄ = 23.5 mmn = 4

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 50 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 12 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 2.5 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/6 = 2.5 s

คำตอบ

t = 2.5 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 16.83 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 15 + 1.835 = 16.83 m

คำตอบ

h_max = 16.83 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 77.02 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 41.46 + 35.56 = 77.02 N

คำตอบ

F = 77.02 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 1.637 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·7.636) = 1.637 m

คำตอบ

d = 1.637 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 6.131 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 70° = 10.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 70° = 30.07 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·30.07/9.81 = 6.131 s

คำตอบ

t = 6.131 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.348 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20.67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7.524 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 60 + 7.524·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.524 + √(56.62 + 1177))/9.81 = 4.348 s

คำตอบ

t = 4.348 s

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 13.1 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·35) = 13.1 m/s

คำตอบ

v_max = 13.1 m/s (47.17 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: h_min = 2.5 m

เงื่อนไขที่จุดสูงสุด

m·g = m·v²/R → v² = g·R

การอนุรักษ์พลังงาน

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·1 = 2.5 m

คำตอบ

h_min = 2.5 m

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 77.78 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 45°) = 5.747 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·5.747/1 = 77.78 N

คำตอบ

T = 77.78 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 77.78 N

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 2.215 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 9.81·2.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.2·29.43·2.5 = 14.71 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 9.81 → v = √(2·9.81/4) = 2.215 m/s

คำตอบ

v = 2.215 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 25.5 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 6·29 = 174 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

174 = 2·36 + 4·v′₂

v′₂ = (174 − 72)/4 = 25.5 m/s

คำตอบ

v′₂ = 25.5 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 40.26 m/s

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·16.5) = 13.94 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·13.94/900 = 40.26 m/s

คำตอบ

v₁ = 40.26 m/s

(144.9 km/h)

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 5.103 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 9.5·9.81·0.55 + 4.5·9.81·1.1 = 99.82 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3.832 + 5.445 = 9.277 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 99.82 → ω = √(2·99.82/9.277) = 4.639 rad/s

v = ω·L = 4.639·1.1 = 5.103 m/s

คำตอบ

v = 5.103 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: a = 3.376 m/s²

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 35°/1.667 = 3.376 m/s²

คำตอบ

a = 3.376 m/s²

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 9.048 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 15.08 m/s

กำลัง

P = (1000 − 400)·15.08 = 9048 W = 9.048 kW

คำตอบ

P = 9.048 kW

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 159.8 °

มุมของสายพาน

asin(0.175) = 10.08°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·10.08 = 159.8°

คำตอบ

θ = 159.8°

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 1.315 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.3/2π)² = 1.315 m

คำตอบ

L = 1.315 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: U = 0.396 J

พลังงานรวม

E = ½·k·A² = ½·220·0.13² = 1.859 J

พลังงานสปริงที่ x

U = ½·k·x² = ½·220·0.06² = 0.396 J

คำตอบ

U = 0.396 J

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.03003

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/4)·ln(50/23.5) = 0.1888

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1888/√(39.48 + 0.03563) = 0.03003

คำตอบ

ζ = 0.03003

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.501 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/50 + 1/12 → k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9.677 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(9677/20) = 22 rad/s

f_n = 22/(2π) = 3.501 Hz

คำตอบ

f_n = 3.501 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics