พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 27 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2.5 m/s² รถตำรวจตามทันที่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด จงหา d

v_car = 27 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 19 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 20 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 15° ด้วยอัตราเร็ว 10 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 10 m/sθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 18 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 18 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

วิศวกรถนนต้องการให้รถผ่านทางโค้งรัศมี 190 m ด้วย 120 km/h โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมเอียง θ

r = 190 mv = 120 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1.8 kg ผูกกับเชือกยาว 0.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 3 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 1.8 kgr = 0.5 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1500 kg ขึ้นเนินลาด 5° ด้วย 36 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 750 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1500 kgθ = 5°F_r = 750 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 10 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 25° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 85 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 9 m

m = 10 kgF = 85 Nθ = 25°μ = 0.3d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 9 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.6 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 35° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 1 kgL = 1.6 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 2 kg ยาว 0.8 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 4 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของปลายอิสระขณะแท่งแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 2 kgL = 0.8 mm_ball = 4 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมกลวง กลิ้งโดยไม่ไถลลงทางลาดที่เอียง 10° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตที่น้อยที่สุด μ_s ที่ป้องกันไม่ให้มันไถล

θ = 10°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 25 ฟันและโมดูล 3 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 1.5 kWn = 2900 rpmN₁ = 25m = 3 mm

F_t = N

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (18 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (25 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (72 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1450 rpmA = 18B = 80C = 25D = 72

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 2.2 kg บนสปริง k = 280 N/m ถูกดึงไป 8 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาการกระจัด x จากตำแหน่งสมดุลที่ t = 0.85 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 2.2 kgk = 280 N/mA = 8 cmt = 0.85 s

x = cm

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 0.8 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 110 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วมากที่สุด v_max ของมวล

m = 0.8 kgk = 110 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 20 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 80 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 630 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 20 kgk = 80 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 5 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 583.2 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/2.5 = 21.6 s

ระยะทาง

d = v·t = 27·21.6 = 583.2 m

คำตอบ

d = 583.2 m

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 54 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 5.078 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−30 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 30 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (19 + √(19² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.078 s

คำตอบ

t = 5.078 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.554 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

คำตอบ

a = 5.554 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 12.63 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 15° + 0.15·cos 15°) = 3.96 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·3.96) = 12.63 m

คำตอบ

d = 12.63 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 24.11 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21.75 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 21.75²/(2·9.81) = 24.11 m

คำตอบ

H = 24.11 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 59.21 °

แยกความเร็วต้น

v_x = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y0 = 18·sin 45° = 12.73 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(12.73² + 2·9.81·15) = 21.36 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 21.36/12.73 → α = 59.21°

คำตอบ

α = 59.21°

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: θ = 30.8 °

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

หน่วย

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

มุมเอียง

tan θ = v²/(r·g) = 33.33²/(190·9.81) = 0.5961

θ = 30.8°

คำตอบ

θ = 30.8°

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 50.06 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·3²/0.5 = 17.66 + 32.4 = 50.06 N

คำตอบ

T = 50.06 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 20.32 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 5° = 1282 N

F = 1282 + 750 = 2032 N

กำลัง

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 2032·10 = 20325 W = 20.32 kW

คำตอบ

P = 20.32 kW

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.51 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 41.46 N

μ·mg·cos θ = 26.67 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (85 − 68.13)·9 = 151.8 J

v = √(2·151.8/10) = 5.51 m/s

คำตอบ

v = 5.51 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 3.6 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 1.5)/(3.5 + 1.5)·9 = 3.6 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1.5)·9 = 12.6 m/s

คำตอบ

v′₁ = 3.6 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 478.9 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 35°) = 0.2894 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.2894) = 2.383 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.005·2.383/0.005 = 478.9 m/s

คำตอบ

v = 478.9 m/s

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 4.101 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2·9.81·0.4 + 4·9.81·0.8 = 39.24 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0.4267 + 2.56 = 2.987 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 39.24 → ω = √(2·39.24/2.987) = 5.126 rad/s

v = ω·L = 5.126·0.8 = 4.101 m/s

คำตอบ

v = 4.101 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: μ_s = 0.07053

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

สมการการเคลื่อนที่

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

ความเร่ง

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.667 = 1.022 m/s²

แรงเสียดทานที่ต้องใช้

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.6667·tan 10°/1.667 = 0.07053

คำตอบ

μ_s = 0.07053

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 131.7 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 1500/303.7 = 4.939 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 3·25 = 75 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·4.939/0.075 = 131.7 N

คำตอบ

F_t = 131.7 N

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 113.3 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1450·18/80 = 326.3 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 326.3·25/72 = 113.3 rpm

คำตอบ

n_out = 113.3 rpm

อัตราทดรวม = 12.8 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x = −7.892 cm

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(280/2.2) = 11.28 rad/s

ω·t = 11.28·0.85 = 9.589 rad

การกระจัด

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(9.589) = −7.892 cm

คำตอบ

x = −7.892 cm

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: v_max = 0.8366 m/s

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/110 = 0.07135 m = A

อัตราเร็วมากที่สุด

อัตราเร็วมีค่ามากที่สุดที่ตำแหน่งสมดุล

ω = √(110/0.8) = 11.73 rad/s

v_max = A·ω = 0.07135·11.73 = 0.8366 m/s

คำตอบ

v_max = 0.8366 m/s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.249

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·20) = 2530 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 630/2530 = 0.249

คำตอบ

ζ = 0.249

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 35 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 30 + 5 = 35 kN/m

คำตอบ

k_eq = 35 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics