พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 22 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2 m/s² รถตำรวจตามทันที่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด จงหา d

v_car = 22 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 4.3 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 4.3 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 11 m/s และหยุดหลังไป 62 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 11 m/sd = 62 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 30° ด้วยอัตราเร็ว 10.5 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 10.5 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 28 m/s ที่มุม 35° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 23 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 28 m/sθ = 35°x = 23 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 60 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 23 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 125 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด v_max ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 125 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 1 kg ผูกกับเชือกยาว 0.5 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 3 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 1 kgr = 0.5 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 7 m

θ = 20°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 10 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.25) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 6 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 1 m

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 7 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 5 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 3 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 34 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 4 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 7 kgu = 5 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 34 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.15 kg กระทบผนังด้วย 12 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 19 m/s การสัมผัสใช้เวลา 20 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.15 kgv_in = 12 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

มอเตอร์ให้แรงบิด 1210 N·m ที่ 2000 rpm จงหากำลังขาออก P ของมันใน kW

T = 1210 N·mn = 2000 rpm

P = kW

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

จานตันสม่ำเสมอ (มวล 17 kg รัศมี 0.15 m) หมุนอิสระที่ 1000 rpm รอบเพลาแนวดิ่งไร้แรงเสียดทาน วงแหวนบางมวล 17 kg รัศมีเท่ากันถูกปล่อยลงบนมันจากหยุดนิ่ง ให้ศูนย์กลางตรงกับเพลา และทั้งสองหมุนไปด้วยกันอย่างรวดเร็ว พลังงานจลน์ ΔE สูญเสียไปในกระบวนการเท่าใด

M_disc = 17 kgM_ring = 17 kgR = 0.15 mn₁ = 1000 rpm

ΔE = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 11 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 15 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 24 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิดขาออก T₂ บนเพลาของเฟือง

P = 11 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 24η = 97%

T₂ = N·m

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 12 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 20 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1800 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 12N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

ลูกตุ้มอย่างง่ายต้องยาวเท่าใดจึงจะมีคาบ 1 s ใช้ g = 9.81 m/s² หา L

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.1 kg ถูกติดที่ปลายล่างของสปริงแนวดิ่งที่ไม่ยืดซึ่งมี k = 360 N/m และปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะยืดมากที่สุด x_max ของสปริงใน cm

m = 1.1 kgk = 360 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 2 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 4 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 10 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 2 kgk = 4 kN/mc = 10 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 5 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 30 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 484 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/2 = 22 s

ระยะทาง

d = v·t = 22·22 = 484 m

คำตอบ

d = 484 m

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 44 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 81 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(4.3 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1475 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1475))/(2·4.905) = 4.064 s

ความลึก

d = ½·9.81·4.064² = 81 m

คำตอบ

d = 81 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.09947

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·62) = 0.9758 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9758/9.81 = 0.09947

คำตอบ

μ = 0.09947

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 9.579 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 10.5²/(2·5.755) = 9.579 m

คำตอบ

d = 9.579 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 11.17 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 28·cos 35° = 22.94 m/s

t = x/v_x = 23/22.94 = 1.003 s

ความสูงขณะนั้น

y = 16.06·1.003 − ½·9.81·1.003² = 11.17 m

คำตอบ

y = 11.17 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 94.88 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 20° = 21.61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 20° = 7.866 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 60 + 7.866·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.866 + √(61.88 + 1177))/9.81 = 4.39 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 21.61·4.39 = 94.88 m

คำตอบ

x = 94.88 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_max = 19.18 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·125) = 19.18 m/s

คำตอบ

v_max = 19.18 m/s (69.05 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 27.81 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·3²/0.5 = 9.81 + 18 = 27.81 N

คำตอบ

T = 27.81 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.835 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.342 − 0.25·0.9397)) = 3.835 m/s

คำตอบ

v = 3.835 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 2.072 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 58.86·1 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.25·98.1·1 = 24.53 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 34.33 → v = √(2·34.33/16) = 2.072 m/s

คำตอบ

v = 2.072 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −16.75 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 7·5 = 35 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

35 = 3·34 + 4·v′₂

v′₂ = (35 − 102)/4 = −16.75 m/s

คำตอบ

v′₂ = −16.75 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 232.5 N

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.15·(19 + 12) = 4.65 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 4.65/0.02 = 232.5 N

คำตอบ

F_avg = 232.5 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: P = 253.4 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

ความเร็วเชิงมุม

ω = 2π·2000/60 = 209.4 rad/s

กำลัง

P = T·ω = 1210·209.4 = 253422 W = 253.4 kW

คำตอบ

P = 253.4 kW

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: ΔE = 699.1 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

โมเมนต์ความเฉื่อย

I₁ = ½·17·0.15² = 0.1912 kg·m²

I₂ = 17·0.15² = 0.3825 kg·m²

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1000·0.1912/0.5737 = 333.3 rpm

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

E₁ = ½·0.1912·104.7² = 1049 J

E₂ = ½·0.5737·34.91² = 349.5 J

ΔE = 1049 − 349.5 = 699.1 J

คำตอบ

ΔE = 699.1 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₂ = 113.2 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/150.8 = 72.95 N·m

แรงบิดขาออก

T₂ = 72.95·24/15·0.97 = 113.2 N·m

คำตอบ

T₂ = 113.2 N·m

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 337.5 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·20 = 52

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −52/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·12/64 = 337.5 rpm

คำตอบ

n_c = 337.5 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: L = 0.2485 m

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

แก้หาความยาว

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

คำตอบ

L = 0.2485 m

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x_max = 5.995 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

ตำแหน่งสมดุลและแอมพลิจูด

x₀ = m·g/k = 1.1·9.81/360 = 0.02998 m = A

จุดต่ำสุด

x_max = 2A = 0.05995 m = 5.995 cm

คำตอบ

x_max = 5.995 cm

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.0559

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·2) = 178.9 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 10/178.9 = 0.0559

คำตอบ

ζ = 0.0559

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 4.286 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/5 + 1/30 → k_eq = 5·30/(5 + 30) = 4.286 kN/m

คำตอบ

k_eq = 4.286 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics