พลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบ G: แท่ง mL²/12, จาน ½mR², วงแหวน mR², ทรงกลมตัน (2/5)mR², ทรงกลมกลวง (2/3)mR²
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_G + m·d²
รัศมีไจเรชัน: I = m·k²
แท่งรอบปลาย: I = mL²/3
สมการการเคลื่อนที่: ΣM = I·α
อัตราเร็วใน rad/s: ω = 2π·n/60
พลังงานจลน์: E = ½·I·ω²
งานและกำลัง: W = T·θ, P = T·ω
การกลิ้งโดยไม่ไถล: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
โมเมนตัมเชิงมุม: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
การชนรอบจุดหมุน: m·v·d = I·ω

วิธีการ

เลือกแกน: จุดหมุนคงที่ หรือจุดศูนย์กลางมวลสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้นจากผลมาตรฐาน โดยใช้ I = I_G + m·d² สำหรับแกนที่ย้าย
เลือกวิธี: ΣM = I·α สำหรับความเร่งและแรง พลังงาน (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) สำหรับอัตราเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการชนและการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน
เชื่อมการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับเชิงมุมด้วย v = ω·r และ a = α·r และแปลง rpm เป็น rad/s

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 120 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 13 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 10 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 13 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 30 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 35° เหนือแนวนอนด้วยแรง 100 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 30 kgF = 100 Nθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 70 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 8 kg ก้อนที่หนัก 10 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของก้อนวัตถุ

m₁ = 10 kgm₂ = 8 kgF = 70 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 22 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 10 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 22 m/sθ = 45°x = 10 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 27 m/s ที่มุม 70° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 27 m/sθ = 70°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ทางโค้งรัศมี 70 m เอียง 12° รถผ่านได้ด้วยอัตราเร็ว v เท่าใดโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทานเลย ใช้ g = 9.81 m/s²

r = 70 mθ = 12°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ลูกบอลมวล 0.3 kg ผูกกับเชือกยาว 1.1 m ถูกเหวี่ยงเป็นวงกลมแนวดิ่ง ที่จุดต่ำสุดมันเคลื่อนที่ด้วย 7 m/s ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือกที่จุดต่ำสุด

m = 0.3 kgr = 1.1 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 15 m

θ = 40°μ = 0.1d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2.5 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 5 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1700 kg เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s ชนรถมวล 1500 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์เดิมสูญเสียไปกี่เปอร์เซ็นต์ ΔK/K

m₁ = 1700 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.45 kg กระทบผนังด้วย 28 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 9 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.45 kgv_in = 28 m/sv_out = 9 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งปานกลาง

แท่งเรียวสม่ำเสมอมวล 6 kg ยาว 1.2 m ถูกยึดด้วยหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากหยุดนิ่งในตำแหน่งแนวนอน ลูกบอลเล็กมวล 3.5 kg ติดอยู่ที่ปลายอิสระของมัน ไม่คิดแรงเสียดทานและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของปลายอิสระขณะแท่งแกว่งผ่านตำแหน่งแนวดิ่ง

m = 6 kgL = 1.2 mm_ball = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งยาก

ทรงกลมตัน มวล 17.5 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 6.5 m/s จงหาพลังงานจลน์รวม E_k ของมัน

m = 17.5 kgv = 6.5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 160 mm ที่ 1500 rpm ขับพูลเลย์ 400 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 1 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 1500 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (16 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1500 rpm ขับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1500 rpmA = 16B = 72C = 12D = 80

n_out = rpm

17.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 1.7 kg บนสปริง k = 40 N/m ถูกดึงไป 15 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาการกระจัด x จากตำแหน่งสมดุลที่ t = 1 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 1.7 kgk = 40 N/mA = 15 cmt = 1 s

x = cm

18.สปริงและลูกตุ้มยาก

วัตถุแกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยคาบ 2.2 s และแอมพลิจูด 16 cm ต้องใช้เวลาสั้นที่สุด t เท่าใดในการเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลไปยังการกระจัด 14.4 cm

T = 2.2 sA = 16 cmx = 14.4 cm

t = s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 150 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 100 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 1940 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 150 kgk = 100 kN/mc = 1940 N·s/m

ζ =

20.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริง k₃ = 25 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 10 kN/m และ k₂ = 100 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 92.59 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6) = 92.59 m

คำตอบ

s = 92.59 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.273 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−10 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 10 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (13 + √(13² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.273 s

คำตอบ

t = 3.273 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 0.3611 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 100·sin 35° = 236.9 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 81.92 − 71.08

a = 10.83/30 = 0.3611 m/s²

คำตอบ

a = 0.3611 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.417 m/s²

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 26.49)/18 = 2.417 m/s²

คำตอบ

a = 2.417 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 7.973 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 22·cos 45° = 15.56 m/s

t = x/v_x = 10/15.56 = 0.6428 s

ความสูงขณะนั้น

y = 15.56·0.6428 − ½·9.81·0.6428² = 7.973 m

คำตอบ

y = 7.973 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 62.81 m

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 27·sin 70° = 25.37 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 25.37²/(2·9.81) = 32.81 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 30 + 32.81 = 62.81 m

คำตอบ

H = 62.81 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v = 12.08 m/s

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

สมดุลแรง

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

อัตราเร็ว

v = √(r·g·tan θ) = √(70·9.81·tan 12°) = 12.08 m/s

คำตอบ

v = 12.08 m/s

(43.49 km/h)

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: T = 16.31 N

แรงที่จุดต่ำสุด

ทิศเข้าหาศูนย์กลาง (ขึ้น) เป็นบวก

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·7²/1.1 = 2.943 + 13.36 = 16.31 N

คำตอบ

T = 16.31 N

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 12.91 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.6428 − 0.1·0.766)) = 12.91 m/s

คำตอบ

v = 12.91 m/s

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 55 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.15·2.5) = 226.9 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 226.9 → x = √(2·226.9/1500) = 0.55 m = 55 cm

คำตอบ

x = 55 cm

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK/K = 46.88 %

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·10/3200 = 5.313 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1700·10² = 85000 J

K_after = ½·3200·5.313² = 45156 J

สัดส่วนที่สูญเสีย

ΔK/K = 39844/85000 = 46.88 %

คำตอบ

ΔK/K = 46.88 %

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 416.3 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.45·(9 + 28) = 16.65 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 16.65/0.04 = 416.3 N

คำตอบ

F_avg = 416.3 N

13.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: v = 5.275 m/s

การหมุนรอบแกนคงที่: ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α (ΣM = I·α) เหมือน ΣF = m·a สำหรับการเลื่อนตำแหน่ง ในรูปพลังงาน แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ (เรเดียน) ทำงาน T·θ ซึ่งเปลี่ยนพลังงานจลน์ ½·I·ω² แรงโน้มถ่วงเพิ่มหรือลด m·g·Δh ของจุดศูนย์กลางมวล กำลังคือ P = T·ω

พลังงานศักย์ที่สูญเสีย

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6·9.81·0.6 + 3.5·9.81·1.2 = 76.52 J

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบหมุด

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.88 + 5.04 = 7.92 kg·m²

สมดุลพลังงาน

½·I_O·ω² = 76.52 → ω = √(2·76.52/7.92) = 4.396 rad/s

v = ω·L = 4.396·1.2 = 5.275 m/s

คำตอบ

v = 5.275 m/s

14.การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำตอบ: E_k = 517.6 J

การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม: วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลมี v = ω·r พลังงานจลน์ของมันจึงเป็น ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)) ลงทางลาด จะได้ a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนั้นคงที่ I₁·ω₁ = I₂·ω₂ แม้พลังงานจลน์จะสูญเสีย

ส่วนการเลื่อนตำแหน่งและส่วนการหมุน

E_trans = ½·m·v² = ½·17.5·6.5² = 369.7 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·369.7 = 147.9 J

รวม

E_k = 369.7 + 147.9 = 517.6 J

คำตอบ

E_k = 517.6 J

15.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 594 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

1500·160/400 = 600 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 600·0.99 = 594 rpm

คำตอบ

n₂ = 594 rpm

16.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 50 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1500·16/72 = 333.3 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 333.3·12/80 = 50 rpm

คำตอบ

n_out = 50 rpm

อัตราทดรวม = 30 : 1

17.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x = 2.068 cm

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(40/1.7) = 4.851 rad/s

ω·t = 4.851·1 = 4.851 rad

การกระจัด

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(4.851) = 2.068 cm

คำตอบ

x = 2.068 cm

18.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: t = 0.3921 s

ความถี่เชิงมุม

ω = 2π/T = 2π/2.2 = 2.856 rad/s

แก้สมการหาเวลา

0.9 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.9) = 1.12 rad

t = 1.12/2.856 = 0.3921 s

คำตอบ

t = 0.3921 s

19.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.2505

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·150) = 7746 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 1940/7746 = 0.2505

คำตอบ

ζ = 0.2505

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

20.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.543 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 10 + 100 = 110 kN/m

k_eq = 110·25/(110 + 25) = 20.37 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(20370/25) = 28.54 rad/s

f_n = 28.54/(2π) = 4.543 Hz

คำตอบ

f_n = 4.543 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics