แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 100 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 60 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 13 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 13 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 150 mm คอคอด 100 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 140 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.98 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 140 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วย 10 L/s ผ่านท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 75 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
Q = 10 L/sL = 300 mD = 75 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 0.2) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 40 L/s
Q = 40 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2
H = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s ต้านเฮด 10 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 65% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 95% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า Pel ที่มอเตอร์ดึง ใน kW
Q = 80 L/sH = 10 mηpump = 65%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 15 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 15 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 15 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 6
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 275.9 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN
คำตอบ
F = 275.9 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 101.8 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.25·4.5 = 101.8 kN
คำตอบ
F = 101.8 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 15.45 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความต่อเนื่อง
v1 = v2·(60/100)² = 0.36·v2
เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด
ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·13000/(1000·(1 − 0.1296))) = 5.465 m/s
v1 = 1.968 m/s
อัตราการไหล
Q = A2·v2 = 0.002827·5.465 = 0.01545 m³/s = 15.45 L/s
คำตอบ
Q = 15.45 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 50.55 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.14 = 17305 Pa
ความเร็วที่คอคอด
สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ
β = 100/150 = 0.6667
v2 = √(2·17305/(1000·(1 − 0.1975))) = 6.567 m/s
อัตราการไหลจริง
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.007854·6.567 = 0.05055 m³/s = 50.55 L/s
คำตอบ
Q = 50.55 L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 15.67 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็วเฉลี่ย
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.01/0.004418 = 2.264 m/s
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 2.264²/(2·9.81) = 0.2611 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.075)·2.264²/(2·9.81) = 15.67 m
คำตอบ
hf = 15.67 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: H = 0.8345 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.015·100/0.2 = 7.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6
สมการพลังงาน
ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้
H = (1 + 7.5 + 1.6)·0.08263 = 0.8345 m
คำตอบ
H = 0.8345 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pel = 12.71 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·10 = 7.848 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = 7.848/0.65 = 12.07 kW
กำลังไฟฟ้า
Pel = 12.07/0.95 = 12.71 kW
คำตอบ
Pel = 12.71 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 21.69 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.1859 = 6.693 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
H = Δz + hL = 15 + 6.693 = 21.69 m
คำตอบ
H = 21.69 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics