แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 270 kPa และความเร็วคือ 2.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
หัวฉีดน้ำพุชี้ขึ้นตรง ๆ ใต้หัวฉีดเล็กน้อย ท่อจ่ายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 75 mm และความดันเกจ 140 kPa เส้นผ่านศูนย์กลางทางออกของหัวฉีดคือ 20 mm และผลต่างความสูงคร่อมหัวฉีดน้อยมากจนละเลยได้ ไม่คิดการสูญเสียและแรงต้านอากาศ จงหาความสูง H ที่ลำน้ำพุ่งขึ้นเหนือหัวฉีด ใช้ g = 9.81 m/s²
d1 = 75 mmp1 = 140 kPa (เกจ)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วย 3 L/s ผ่านท่อยาว 1000 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
Q = 3 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 10) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 200 L/s
Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 60% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 30 L/s ต้านเฮด 78 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา Pshaft ที่ต้องใช้ ใน kW
Q = 30 L/sH = 78 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 40 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 8 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 2.5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 2.5
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 220.7 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·9 = 220.7 kN
คำตอบ
F = 220.7 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 3.524 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.5·2 = 60.43 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 0.1667/(3.5·2) = 3.524 m
คำตอบ
ycp = 3.524 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p2 = 257.3 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−12.7) = 257.3 kPa
คำตอบ
p2 = 257.3 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: H = 14.34 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วที่ทางออก
β = 20/75 = 0.2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9949)) = 16.78 m/s
ความสูงของลำน้ำ
เบอร์นูลลีตามลำน้ำ: ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์และความดันกลับเป็นความดันบรรยากาศ
H = v2²/(2g) = 16.78²/(2·9.81) = 14.34 m
คำตอบ
H = 14.34 m
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 66.63 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็วเฉลี่ย
A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.003/0.001963 = 1.528 m/s
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.05)·1.528²/(2·9.81) = 66.63 m
คำตอบ
hf = 66.63 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δz = 15.14 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
การสูญเสียเฮดรวม
hf = 25·0.408 = 10.2 m
hm = 12.1·0.408 = 4.937 m
Δz = hf + hm = 15.14 m
คำตอบ
Δz = 15.14 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 38.26 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·78 = 22.96 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/η = 22.96/0.6 = 38.26 kW
คำตอบ
Pshaft = 38.26 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 12.48 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 2.5)·0.2611 = 4.483 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
H = Δz + hL = 8 + 4.483 = 12.48 m
คำตอบ
H = 12.48 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics