กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

สำคัญ: ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น

ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น ห้ามนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้ออกแบบ สร้าง หรือตรวจสอบโครงสร้าง เครื่องจักร ระบบแรงดัน หรืออุปกรณ์ยกจริง การออกแบบจริงต้องจัดทำและตรวจสอบโดยวิศวกรที่มีคุณวุฒิ โดยใช้มาตรฐานและค่าความปลอดภัยที่เกี่ยวข้อง ข้อกำหนดการใช้งาน

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 500 mm, E = 120 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.2 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 500 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 20 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 200 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 50 kW ที่ 1450 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 4 mP = 35 kN ที่ 3 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 4 m

M_max = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 60 MPa สำหรับแรงดึง และ 90 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงมากที่สุด M_allow ที่คานรับได้

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 130 MPa และ σᵧ = 50 MPa ความเค้นเฉือน τ_xy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 150 MPa

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm รับ โมเมนต์ดัด 500 N·m ร่วมกับแรงบิด 400 N·m ที่ผิวด้านบน ซึ่งความเค้นดัดเป็นแรงดึงและมีค่ามากที่สุด จงหาความเค้นเฉือนในระนาบสูงสุด τ_max

d = 30 mmM = 500 N·mT = 400 N·m

τ_max = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θ_A ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดเท่ากันสองแรง P ที่จุดหนึ่งในสามของช่วงคาน (L/3 จากแต่ละจุดรองรับ) จงใช้หลักการซ้อนทับหาการโก่งตัว δ_max ที่กึ่งกลางช่วงคาน

P = 18 kNL = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 32.55 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3.316 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.2/6.145 × 10⁻⁶ = 32546 N = 32.55 kN

คำตอบ

P = 32.55 kN

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 6.482 MPa

ความแข็ง

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 20000·274889/431969 = 12727 N

ความเค้น

σ₂ = 12727/1963 = 6.482 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 6.482 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 1.868 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(80000·38350) = 0.03259 rad

φ = 0.03259·180/π = 1.868°

คำตอบ

φ = 1.868°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 27.57 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·80)) = 27.57 mm

คำตอบ

d = 27.57 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 54 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

ตัดที่ x = 1 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 60·1 − 12·1·0.5 = 54 kN·m

คำตอบ

M_x = 54 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 35.25 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 6·4·2

R_B = 153/4 = 38.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 38.25 = 20.75 kN

V = 0 ที่ใด

V(3⁻) = R_A − w·3 = 2.75 kN

V(3⁺) = 2.75 − 35 = −32.25 kN

แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ

โมเมนต์สูงสุด

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 20.75·3 − 6·3²/2 = 35.25 kN·m

คำตอบ

M_max = 35.25 kN·m

เกิดที่ x = 3 m จาก A

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 81.15 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

เอว: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·292.5 + 5040·140)/8540 = 202.5 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 140·25³/12 + 3500·(292.5 − 202.5)² = 2.853 × 10⁷ mm⁴

เอว: 18·280³/12 + 5040·(140 − 202.5)² = 5.262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.853 × 10⁷ + 5.262 × 10⁷ = 8.115 × 10⁷ mm⁴ = 81.15 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 81.15 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: M_allow = 16.84 kN·m

เซนทรอยด์

ȳ = (3900·227.5 + 4400·110)/8300 = 165.2 mm

ขอบบน: c = 235 − 165.2 = 69.79 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 260·15³/12 + 3900·62.29² + 20·220³/12 + 4400·55.21² = 4.636 × 10⁷ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

แอ่นลง: ด้านบนรับแรงอัด ด้านล่างรับแรงดึง

ขอบบน: M = 90·4.636 × 10⁷/69.79 = 59.79 kN·m

ขอบล่าง: M = 60·4.636 × 10⁷/165.2 = 16.84 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

M_allow = min = 16.84 kN·m (ขอบล่าง)

คำตอบ

M_allow = 16.84 kN·m

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_xy = 44.72 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีที่ต้องการ

C = (130 + 50)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 90 = 60 MPa

ความเค้นเฉือน

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 40²) = 44.72 MPa

คำตอบ

τ_xy = 44.72 MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 120.8 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188.6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75.45 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = 94.31 MPa

R = √(94.31² + 75.45²) = 120.8 MPa

คำตอบ

τ_max = 120.8 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: θ_A = 0.006988 rad

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

มุมลาดเอียงที่ปลาย

θ_A = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·1.61 × 10¹²) = 0.006988 rad

คำตอบ

θ_A = 0.006988 rad

นั่นคือ 0.4004°

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 12.32 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 18000 N, L = 6000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

แรงหนึ่งที่ L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 6.161 mm

บวกแรงทั้งสอง

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 12.32 mm

คำตอบ

δ_max = 12.32 mm

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 8.188 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1500 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1500² = 8188 N = 8.188 kN

คำตอบ

P_cr = 8.188 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 56.65 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/15 = 186.7

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa

คำตอบ

σ_cr = 56.65 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials