ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งอะลูมิเนียม ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)
P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 60 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 500 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 2.5 m และห่างจาก B 1 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
d = 40 mmT0 = 500 N·ma = 2.5 mb = 1 m
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 4 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก
L = 8 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 5 mP = 45 kN ที่ 3.5 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 5 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
แผ่น 150 mm × 240 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 60 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 72 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์
b = 150 mmh = 240 mmช่องตัด: 60 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 130 MPa, σᵧ = 20 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = 130 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σvM
σx = 70 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง
w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ireq ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้
w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 130 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 130 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: ε = 18189 µε
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 100·1000/78.54 = 1273 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1273/70000 = 0.01819 = 18189 µε
คำตอบ
ε = 18189 µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 298.4 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 47.75 MPa
σ2 = 298.4 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 298.4 MPa
คำตอบ
σmax = 298.4 MPa
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 13.86 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·79522) = 0.2418 rad
φ = 0.2418·180/π = 13.86°
คำตอบ
φ = 13.86°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 28.42 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)
สมดุลและความสอดคล้อง
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1/3.5 = 142.9 N·m
TB = 500·2.5/3.5 = 357.1 N·m
ความเค้นเฉือนสูงสุด
แรงบิดที่มากกว่าในสองค่าเป็นตัวกำหนด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)
τmax = 16·357143/(π·40³) = 28.42 MPa
คำตอบ
τmax = 28.42 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mx = 80 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
ตัดที่ x = 4 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้
มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น
M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 40·4 − 10·4·2 = 80 kN·m
คำตอบ
Mx = 80 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 57.75 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3.5 + 4·5·2.5
RB = 207.5/5 = 41.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 41.5 = 23.5 kN
V = 0 ที่ใด
V(3.5⁻) = RA − w·3.5 = 9.5 kN
V(3.5⁺) = 9.5 − 45 = −35.5 kN
แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ
โมเมนต์สูงสุด
Mmax = RA·3.5 − w·3.5²/2 = 23.5·3.5 − 4·3.5²/2 = 57.75 kN·m
คำตอบ
Mmax = 57.75 kN·m
เกิดที่ x = 3.5 m จาก A
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 9.05 × 10⁶ mm⁴
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
เอว: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·145 + 1960·70)/4160 = 109.7 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 220·10³/12 + 2200·(145 − 109.7)² = 2.765 × 10⁶ mm⁴
เอว: 14·140³/12 + 1960·(70 − 109.7)² = 6.285 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.765 × 10⁶ + 6.285 × 10⁶ = 9.05 × 10⁶ mm⁴ = 9.05 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 9.05 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 164.6 × 10⁶ mm⁴
หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64
เซนทรอยด์
ȳ = (36000·120 − 3000·72)/(36000 − 3000) = 124.4 mm
แผ่นเต็มรอบ ȳ
150·240³/12 + 36000·−4.364² = 173.5 × 10⁶ mm⁴
รูรอบ ȳ
60·50³/12 + 3000·−52.36² = 8.851 × 10⁶ mm⁴
ลบ
Ix = 164.6 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 164.6 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 68.01 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((130 − 20)/2)² + −40²) = 68.01 MPa
คำตอบ
τmax = 68.01 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σvM = 103 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = 85 MPa, R = 33.54 MPa
σ1 = 118.5 MPa, σ2 = 51.46 MPa, σ3 = 0
ฟอน มิเซส
σvM = √(118.5² − 118.5·51.46 + 51.46²) = 103 MPa
คำตอบ
σvM = 103 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 2.422 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
ระยะแอ่น
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 2.422 mm
คำตอบ
δmax = 2.422 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
เกณฑ์ระยะแอ่น
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·3000⁴/(384·70000·8.333) = 3.616 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 7.197 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7.197 kN
คำตอบ
Pcr = 7.197 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 74.42 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 74.42 mm
คำตอบ
d = 74.42 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 107.5 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials