กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 20 mmเหล็กกล้า2.5 mP = 50 kN

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 50 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 35 mmอะลูมิเนียม2 mØ 12 mmอะลูมิเนียม2 mP = 65 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 65 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 2 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)
δ = mm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 100 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 100 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
d = 60 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 100 N·mABC1.5 m2 m

เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm ยึดที่ A แรงบิด 1000 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 1.5 m และแรงบิด 100 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 2 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา

d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 2 m
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
P1​ = 55 kNP2​ = 55 kNABC3 m3 m1 m

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1 m ถึงปลายอิสระ C คานรับแรงกระทำเป็นจุด P1 ระหว่างจุดรองรับ และแรงกระทำเป็นจุด P2 ที่ C จงหาโมเมนต์ดัด Mx ใต้แรง P1 ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 7 mP1 = 55 kN ที่ 3 mP2 = 55 kN ที่ 7 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 6 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 3 kN/mP = 10 kNABหน้าตัด8 m2 m

หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 8 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mP = 10 kN ที่ 8 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
200 mm150 mm60 mmØ50xIx​ = ?

แผ่น 200 mm × 150 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
200 mm300 mm105 mm80 × 50xIx​ = ?

แผ่น 200 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 80 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 105 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 300 mmช่องตัด: 80 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 120σy​ = 20τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งมี σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θs ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σx = 120 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 40σy​ = 60τxy​ = 20MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 40° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σx = 40 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
w = 4 kN/mδL = 2.5 m

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 15 kN/mδL = 1.5 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ireq ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2.5 md = 80 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 80 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 130 kNL = 2 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 130 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 130 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 795.8 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 159.2/200000 = 0.0007958 = 795.8 µε

คำตอบ

ε = 795.8 µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 18.35 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 67.56 MPa
σ2 = 574.7 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ1 = σ1L1/E1 = 67.56·2000/70000 = 1.93 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574.7·2000/70000 = 16.42 mm
δ = δ1 + δ2 = 18.35 mm

คำตอบ

δ = 18.35 mm
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.4274 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·251327) = 0.00746 rad
φ = 0.00746·180/π = 0.4274°

คำตอบ

φ = 0.4274°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τmax = 21.22 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ TC เป็นบวก

TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 1000 = −900 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|max = 900 N·m
τmax = 16·900000/(π·60³) = 21.22 MPa

คำตอบ

τmax = 21.22 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 55 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด แรงที่ส่วนยื่นก็ทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุด A ด้วย

ΣMA = 0: RB·6 = 55·3 + 55·7
RB = 550/6 = 91.67 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 91.67 = 18.33 kN

ตัดใต้ P1 แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้

Mx = RA·3 = 18.33·3 = 55 kN·m

คำตอบ

Mx = 55 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 40 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·8 + 3·10·5
RB = 230/10 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 23 = 17 kN
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​ = 17RB​ = 23หน้าตัด8 m2 m

ตัดที่ x = 8 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 17·8 − 3·8·4 = 40 kN·m

คำตอบ

Mx = 40 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 55.47 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (30000·75 − 1963·60)/(30000 − 1963) = 76.05 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·150³/12 + 30000·−1.051² = 56.28 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−16.05² = 0.8126 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 55.47 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 55.47 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 440.5 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (60000·150 − 4000·105)/(60000 − 4000) = 153.2 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·300³/12 + 60000·−3.214² = 450.6 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

80·50³/12 + 4000·−48.21² = 10.13 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 440.5 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 440.5 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θs = −29.52 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCτmax​

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θs = 30/58.31 = 0.5145, sin 2θs = −50/58.31 = −0.8575
2θs = atan2(−50, 30) = −59.04°

มุมบนชิ้นส่วน

θs = −29.52°
ตรวจสอบ: θs − θp = −29.52 − 15.48 = −45°

คำตอบ

θs = −29.52°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τθ = 13.32 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

τθ = −−10·0.9848 + 20·0.1736 = 13.32 MPa

คำตอบ

τθ = 13.32 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 32.83 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·5.95 × 10¹¹) = 32.83 mm

คำตอบ

δ = 32.83 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: Ireq = 1.187 × 10⁶ mm⁴

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

เกณฑ์ระยะแอ่น

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·1500⁴/(384·200000·4.167) = 1.187 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.187 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ireq = 1.187 × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 55.56 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55.56 kN

คำตอบ

Pcr = 55.56 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 57.24 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57.24 mm

คำตอบ

d = 57.24 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 139.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials