สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

อินพุต x(t) = 2·e^−2tu(t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e^−0.5tu(t) จงหาเอาต์พุต y(0.25) ที่ t = 0.25 s

x(t) = 2·e^−2tu(t)h(t) = e^−0.5tu(t)t = 0.25 s

y(0.25) =

2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

ระบบเป็นไปตาม y[n] = −0.5·y[n − 1] + 2·x[n] และเริ่มที่สภาวะพัก อินพุตเป็นขั้นหนึ่งหน่วย x[n] = u[n] จงหา y[4]

y[n] = −0.5y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]

y[4] =

3.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = 7/(s² + 10s + 24) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−4t + B·e^−6t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = 7/(s² + 10s + 24)

A =

4.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 4y′ + 3y = 9·u(t) โดย y(0) = 4 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 10 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.3)

y″ + 4y′ + 3y = 9·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 10t = 0.3 s

y(0.3) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 31.5/(s² + 4s + 63) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 31.5/(s² + 4s + 63)

t_p = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 6)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 20 %

G(s) = K/(s(s + 6))%OS = 20 %

K =

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 1 Ω โดย L = 2 mH และ C = 2.2 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 1 ΩL = 2 mHC = 2.2 µF

Q =

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 138/(s(s + 6)(s + 7)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 138/(s(s + 6)(s + 7))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(0.25) = 0.368

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

อินทิกรัลคอนโวลูชัน

y(t) = 2e^−0.5t∫₀ᵗ e^{−(2 − 0.5)τ} dτ = 2(e^−0.5t − e^−2t)/(1.5)

คำนวณค่า

y(0.25) = 2·(0.8825 − 0.6065)/(1.5) = 0.368

คำตอบ

y(0.25) = 0.368

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y[4] = 1.375

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

วนซ้ำ

y[0] = 2

y[1] = 1

y[2] = 1.5

y[3] = 1.25

y[4] = 1.375

ผลลัพธ์

y[4] = 2·(1 − (−0.5)⁵)/(1 − (−0.5)) = 1.375

คำตอบ

y[4] = 1.375

3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 3.5

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 10s + 24 = (s + 4)(s + 6)

F(s) = A/(s + 4) + B/(s + 6)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 4) และตั้ง s = −4: พจน์ B หายไป

A = 7/(s + 6) |_{s = −4} = 7/2 = 3.5

คำตอบ

A = 3.5

(B = −3.5 ดังนั้น f(t) = 3.5·e^−4t − 3.5·e^−6t)

4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.3) = 6.393

แปลงสมการ

(s² + 4s + 3)·Y(s) = 4s + 16 + 90/s

Y(s) = (4s² + 16s + 90)/(s(s + 1)(s + 3))

เศษส่วนย่อย

A = 90/(1·3) = 30

B = 78/((−1)·2) = −39

C = 78/((−3)·(−2)) = 13

ผลลัพธ์

y(t) = 30 − 39·e^−t + 13·e^−3t

y(0.3) = 6.393

คำตอบ

y(0.3) = 6.393

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 4

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_p = 0.409 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 63 → ωₙ = 7.937 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·7.937) = 0.252

ผลลัพธ์

ω_d = 7.937·√(1 − 0.252²) = 7.681 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.409 s

คำตอบ

t_p = 0.409 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 43.29

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 6s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 0.4559

อัตราขยาย

ωₙ = 6/(2ζ) = 6.58 rad/s

K = ωₙ² = 43.29

คำตอบ

K = 43.29

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: Q = 30.15

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.002·2.2 × 10⁻⁶) = 15076 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2399 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

BW = R/L = 1/0.002 = 500 rad/s = 79.58 Hz

Q = ω₀/BW = 15076/500 = 30.15

คำตอบ

Q = 30.15

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 6.481 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/6)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·7) = 6.481 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 6.481 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems