สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (5, 4, 3) และ b = (−2, 6, −2) ในหน่วยองศา

a = (5, 4, 3)b = (−2, 6, −2)

θ = °

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

แรง F = (−60, −20, 30) N กระทำที่จุด A(0, 2, 2) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหาองค์ประกอบ z ซึ่งคือ M_z ของโมเมนต์ของแรงรอบ จุด O(2, 1, 3)

F = (−60, −20, 30) NA(0, 2, 2) mO(2, 1, 3) m

M_z = N·m

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 8 mP₁ = 20 kN ที่ 1 mP₂ = 45 kN ที่ 3 m

R_A = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 10 mP = 30 kN ที่ 4 mw = 4 kN/m จาก 6 ถึง 10 m

R_B = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 55 kN

F_AC = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 7 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 40 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 25 kN →

F_BC = kN

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 3.2 m ขาทั้งสองมาพบกันที่หมุด C สูง 2 m และเส้นยึดแนวนอน DE อยู่เหนือพื้น 0.6 m โหลด 10 kN กระทำที่ C จงหาขนาดของแรง C ที่หมุด C กระทำต่อขา BC

P = 10 kNAB = 3.2 mความสูงของ C = 2 mความสูงของ DE = 0.6 m

C = kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 5 m ขาทั้งสองมาพบกันที่หมุด C สูง 3.6 m และถูกผูกด้วยแท่งแนวนอน DE ที่ 2 m แรงแนวนอน 10 kN ไปทางขวากระทำที่ C จงหาแรงดึง T ในเส้นยึด

P = 10 kNAB = 5 mความสูงของ C = 3.6 mความสูงของ DE = 2 m

T = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับโมเมนต์คู่ควบตามเข็มนาฬิกา M₀ = 15 kN·m ที่ x = 1.5 m จาก A และไม่มีแรงอื่น จงหาโมเมนต์ดัด M_x ที่ตำแหน่งขวาของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 4 mM₀ = 15 kN·m ตามเข็มนาฬิกา ที่ 1.5 m

M_x = kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 8 mP = 55 kN ที่ 4 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 8 m

M_max = kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 140 mm หนา 24 mm ความลึกรวม 360 mm และเอวหนา 8 mm จงหาโมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่น S_x สำหรับการดัดรอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน x

B = 140 mmH = 360 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 40 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σ_บน ที่ขอบบน

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_บน = MPa

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 80.18 °

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = 5·(−2) + 4·6 + 3·(−2) = 8

ขนาด

|a| = √(5² + 4² + 3²) = 7.071

|b| = √((−2)² + 6² + (−2)²) = 6.633

มุม

cos θ = 8/(7.071·6.633) = 0.1706

θ = arccos(0.1706) = 80.18°

คำตอบ

θ = 80.18°

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: M_z = 100 N·m

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

เวกเตอร์ตำแหน่งจาก O ไป A

r = A − O = (0, 2, 2) − (2, 1, 3) = (−2, 1, −1) m

โมเมนต์ M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·30 − (−1)·(−20) = 10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−60) − (−2)·30 = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−20) − 1·(−60) = 100 N·m

องค์ประกอบที่ถาม

M_z = 100 N·m

คำตอบ

M_z = 100 N·m

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 45.63 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·1 + 45·3

R_B = 155/8 = 19.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 19.38 = 45.63 kN

คำตอบ

R_A = 45.63 kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 24.8 kN

แผนภาพวัตถุอิสระ

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN กระทำที่ x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·4 + 4·4·8

R_B = 248/10 = 24.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 24.8 = 21.2 kN

คำตอบ

R_B = 24.8 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AC = 20.63 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13.75 = 41.25 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13.75/0.5547 = −24.79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24.79)·0.8321 = 20.63 kN

คำตอบ

F_AC = 20.63 kN (แรงดึง)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −46.78 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·7 + 25·3 → C_y = 44.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 44.38 = −4.375 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

จุดต่อ C

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44.38/0.9487 = −46.78 kN

คำตอบ

F_BC = −46.78 kN (แรงอัด)

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: C = 7.593 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

แรงในเส้นยึดจากขา BC

B_y = 5 kN

T = 5·1.6/1.4 = 5.714 kN

องค์ประกอบของแรงที่หมุดบน BC

C_x = T = 5.714 kN, C_y = −B_y = −5 kN

ขนาด

C = √(5.714² + 5²) = 7.593 kN

คำตอบ

C = 7.593 kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: T = 11.25 kN

โครงข้อแข็งทั้งหมด: โมเมนต์รอบ A

B_y·5 = 10·3.6

B_y = 7.2 kN

ขา BC: โมเมนต์รอบ C

7.2·2.5 = T·1.6

T = 11.25 kN

คำตอบ

T = 11.25 kN

T ที่เป็นบวกหมายความว่าเส้นยึดอยู่ในแรงดึงตามที่สมมติไว้

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 9.375 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์คู่ควบที่กระทำทำให้แผนภาพโมเมนต์ดัดกระโดดเท่ากับขนาดของโมเมนต์คู่ควบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

โมเมนต์รอบ A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก: R_B·L − M₀ = 0 สมดุลในแนวดิ่ง: R_A + R_B = 0

R_B = M₀/L = 15/4 = 3.75 kN (ขึ้น)

R_A = −R_B = −3.75 kN (ลง)

ตัดที่ตำแหน่งขวาของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย

ตอนนี้ส่วนซ้ายมี R_A และโมเมนต์คู่ควบ

M_x = R_A·a + M₀ = −3.75·1.5 + 15 = 9.375 kN·m

คำตอบ

M_x = 9.375 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 134 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·4 + 3·8·4

R_B = 316/8 = 39.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 39.5 = 39.5 kN

V = 0 ที่ใด

V(4⁻) = R_A − w·4 = 27.5 kN

V(4⁺) = 27.5 − 55 = −27.5 kN

แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ

โมเมนต์สูงสุด

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 39.5·4 − 3·4²/2 = 134 kN·m

คำตอบ

M_max = 134 kN·m

เกิดที่ x = 4 m จาก A

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: S_x = 1168 × 10³ mm³

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − t_w) และสูง h_w = H − 2t_f และใช้แกน x ร่วมกัน

h_w = 360 − 2·24 = 312 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·360³ − 132·312³)/12

I_x = 2.102 × 10⁸ mm⁴

มอดูลัสหน้าตัด

c = H/2 = 180 mm

S_x = I/c = 2.102 × 10⁸/180

S_x = 1.168 × 10⁶ mm³ = 1168 × 10³ mm³

คำตอบ

S_x = 1168 × 10³ mm³

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_บน = 57.33 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

เอว: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 2000·100)/9200 = 190 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 240·30³/12 + 7200·(215 − 190)² = 5.04 × 10⁶ mm⁴

เอว: 10·200³/12 + 2000·(100 − 190)² = 2.287 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.04 × 10⁶ + 2.287 × 10⁷ = 2.791 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ

y = 230 − 190 = 40 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·40/2.791 × 10⁷ = 57.33 MPa

คำตอบ

σ_บน = 57.33 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics