สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (−6, 0, 6) และ b = (4, 0, 1) ในหน่วยองศา

a = (−6, 0, 6)b = (4, 0, 1)

θ = °

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย n̂ ตั้งฉากกับทั้ง a = (1, −3, 3) และ b = (−5, 2, 1) และมีองค์ประกอบ z เป็นบวก จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ n̂_x ของมัน

a = (1, −3, 3)b = (−5, 2, 1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 5 mP₁ = 45 kN ที่ 1.5 mP₂ = 15 kN ที่ 2.5 m

R_A = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

L = 10 mP = 30 kN ที่ 5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 1 m

R_A = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 7 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 55 kN

F_AC = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 20 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

ในที่หนีบแบบทอกเกิลที่แสดง ลิงก์เท่ากันสองอัน AB และ BC ต่อด้วยหมุดที่ B และแต่ละอันทำมุม 5° กับเส้น AC แรงลงล่าง 100 N กระทำที่ B ตัวเลื่อน C กดชิ้นงาน ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานและน้ำหนัก จงหาแรงหนีบแนวนอน Q

F = 100 Nθ = 5°

Q = N

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

โครงข้อแข็งที่แสดงมีหมุดที่ A, B และ C โดย A และ C ยึดกับพื้นห่างกัน 6 m และ B สูง 2 m และอยู่ทางขวาของ A 3.6 m ชิ้นส่วน AB รับโหลดแนวดิ่ง 20 kN ที่ K ซึ่งห่างจาก A 2.16 m (ในแนวนอน) และโหลดแนวนอน 3 kN ไปทางขวากระทำที่ B บนชิ้นส่วน AB จงหาขนาดของปฏิกิริยาแนวนอน A_x ที่ A

P = 20 kNQ = 3 kNL = 6 mH = 2 mระยะแนวนอนจาก A ถึง B = 3.6 mระยะแนวนอนจาก A ถึง K = 2.16 m

A_x = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 3.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 4.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mP = 45 kN ที่ 5 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 100 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 140 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 5 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σ_บน ที่ขอบบน

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_บน = MPa

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 121 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุด

a·b = (−6)·4 + 0·0 + 6·1 = −18

ขนาด

|a| = √((−6)² + 0² + 6²) = 8.485

|b| = √(4² + 0² + 1²) = 4.123

มุม

cos θ = −18/(8.485·4.123) = −0.5145

θ = arccos(−0.5145) = 121°

คำตอบ

θ = 121°

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: n̂_x = 0.4001

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·1 − 3·2 = −9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−5) − 1·1 = −16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·2 − (−3)·(−5) = −13

ทำให้เป็นหนึ่งหน่วย

องค์ประกอบ z ของ a × b เป็นลบ จึงใช้ −(a × b)

|a × b| = √((−9)² + (−16)² + (−13)²) = 22.49

n̂ = −(−9, −16, −13)/22.49 = (0.4001, 0.7113, 0.5779)

n̂_x = 0.4001

คำตอบ

n̂_x = 0.4001

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 39 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1.5 + 15·2.5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 21 = 39 kN

คำตอบ

R_A = 39 kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 22.6 kN

แผนภาพวัตถุอิสระ

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN กระทำที่ x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 8·1·0.5

R_B = 154/10 = 15.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 38 − 15.4 = 22.6 kN

คำตอบ

R_A = 22.6 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AC = 24.06 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 → C_y = 48.13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 48.13 = 6.875 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48.13/0.8944 = −53.81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−53.81)·0.4472 = 24.06 kN

คำตอบ

F_AC = 24.06 kN (แรงดึง)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน DH

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ D

CD และ DE อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง DH

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 55 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 35.36 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 7.071 kN (C), HC: 35.36 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: DH

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: Q = 571.5 N

เครื่องกล: คีม คาน กลไกข้อต่อ และที่หนีบเปลี่ยนแรงอินพุตเป็นแรงเอาต์พุตที่ใหญ่ขึ้นหรือมีทิศทางต่างออกไป วาดชิ้นส่วนหนึ่งเป็นวัตถุอิสระและหาโมเมนต์รอบจุดหมุน: แรงที่หมุดหายไป และ F_in·a = F_out·b ให้ความได้เปรียบเชิงกล a/b แรงที่หมุดได้จาก ΣF = 0 บนชิ้นส่วนเดียวกัน ในทอกเกิล ลิงก์สองอันมาพบกันที่มุมตื้น θ แต่ละลิงก์เป็นชิ้นส่วนรับแรงสองแรง ดังนั้นแรงเล็ก ๆ F ที่รอยต่อสร้างแรงในลิงก์ขนาดใหญ่ F/(2 sin θ) และแรงหนีบ F/(2 tan θ)

สมดุลของหมุด B

2·F_link·sin 5° = 100

F_link = 573.7 N

แรงหนีบ

Q = F_link·cos 5° = 100/(2·tan 5°) = 571.5 N

คำตอบ

Q = 571.5 N

อัตราส่วนแรง Q/F = 5.715 เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดเมื่อลิงก์ตรงขึ้น

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: A_x = 6.84 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

ทิศทางของ BC

BC = 3.124 m, cos = 0.7682, sin = 0.6402

โครงข้อแข็งทั้งหมด: โมเมนต์รอบ A

F_BC·0.6402·6 = 20·2.16 + 3·2

F_BC = 12.81 kN

สมดุลแนวนอน

A_x + 3 − 12.81·0.7682 = 0

A_x = 6.84 kN → |A_x| = 6.84 kN

คำตอบ

A_x = 6.84 kN

A_x ชี้ไปทางขวา

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 31.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

ตัดที่ x = 3.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 30·3.5 − 12·3.5·1.75 = 31.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 31.5 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 175.5 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 6·10·5

R_B = 525/10 = 52.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52.5 = 52.5 kN

ตัดที่ x = 4.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 52.5·4.5 − 6·4.5·2.25 = 175.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 175.5 kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 65.45 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (20000·100 − 706.9·140)/(20000 − 706.9) = 98.53 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·200³/12 + 20000·1.466² = 66.71 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·41.47² = 1.255 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 65.45 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 65.45 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_บน = 6.864 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

เอว: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·195 + 2880·90)/10680 = 166.7 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 260·30³/12 + 7800·(195 − 166.7)² = 6.838 × 10⁶ mm⁴

เอว: 16·180³/12 + 2880·(90 − 166.7)² = 2.471 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.838 × 10⁶ + 2.471 × 10⁷ = 3.155 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ

y = 210 − 166.7 = 43.31 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·43.31/3.155 × 10⁷ = 6.864 MPa

คำตอบ

σ_บน = 6.864 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics