1.ง่าย
ระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วงถูกอธิบายด้วย y″ + 6y′ + 4y = 0 จงเทียบกับ y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 และหาอัตราส่วนการหน่วง ζ
y″ + 6y′ + 4y = 0
ζ =
ใบงาน สมการเชิงอนุพันธ์ พร้อมเฉลย
2.ง่าย
สำหรับสมการ y″ + 4y′ + 3y = 0 จงหารากของสมการลักษณะเฉพาะ r ที่ใกล้ศูนย์ที่สุด ซึ่งกำหนดว่าคำตอบหมดไปช้าเพียงใด
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.ปานกลาง
ชิ้นส่วนเหล็กหลอมอุณหภูมิ 400 °C ถูกวางทิ้งไว้ให้เย็นลงในโรงงานที่มีอุณหภูมิ 22 °C หลังผ่านไป 42 min อุณหภูมิเท่ากับ 92 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹
T0 = 400 °CTa = 22 °CT(42) = 92 °C
k = min⁻¹
4.ปานกลาง
น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 5 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 29 °C หลังผ่านไป 17 min อุณหภูมิเท่ากับ 15 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 8 °C
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(17) = 15 °CT = 8 °C
t = min
5.ยาก
ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 5y = 25 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.25) มุมเป็นเรเดียน
y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.ยาก
ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 16.25y = 16.25 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(1) มุมเป็นเรเดียน
y″ + y′ + 16.25y = 16.25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
เฉลย
- 1. ζ = 1.5
- 2. r = −1
- 3. k = 0.04015 min⁻¹
- 4. t = 4.212 min
- 5. y(0.25) = 0.6492
- 6. y(1) = 1.454
เฉลยทีละขั้นตอนฉบับเต็ม: ฝึกหัวข้อนี้ได้ที่ examproblems.com