1.ง่าย
ปริมาณหนึ่งลดลงตาม dy/dt = −k·y โดย k > 0 มีค่า 250 ที่ t = 0 และ 63 ที่ t = 3 h จงหาค่าคงที่อัตรา k ในหน่วย h⁻¹
y(0) = 250y(3) = 63
k = h⁻¹
ใบงาน สมการเชิงอนุพันธ์ พร้อมเฉลย
2.ง่าย
ระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วงถูกอธิบายด้วย y″ + 8y′ + 100y = 0 จงเทียบกับ y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 และหาอัตราส่วนการหน่วง ζ
y″ + 8y′ + 100y = 0
ζ =
3.ปานกลาง
กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 88 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 21 °C หลังผ่านไป 5 min อุณหภูมิเท่ากับ 64 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 36 °C
T0 = 88 °CTa = 21 °CT(5) = 64 °CT = 36 °C
t = min
4.ปานกลาง
กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 93 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 23 °C หลังผ่านไป 10 min อุณหภูมิเท่ากับ 70 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 86 °C
T0 = 93 °CTa = 23 °CT(10) = 70 °CT = 86 °C
t = min
5.ยาก
ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 10y = 20 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.ยาก
จงแก้ y″ + 2y′ + 5y = 0 โดย y(0) = 2 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(0.75) มุมเป็นเรเดียน
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.75) =
เฉลย
- 1. k = 0.4594 h⁻¹
- 2. ζ = 0.4
- 3. t = 16.87 min
- 4. t = 2.645 min
- 5. ymax = 2.702
- 6. y(0.75) = 0.538
เฉลยทีละขั้นตอนฉบับเต็ม: ฝึกหัวข้อนี้ได้ที่ examproblems.com