ใบงาน สมการเชิงอนุพันธ์ พร้อมเฉลย

ปริมาณหนึ่งลดลงตาม dy/dt = −k·y โดย k > 0 มีค่า 500 ที่ t = 0 และ 250 ที่ t = 7 h จงหาค่าคงที่อัตรา k ในหน่วย h⁻¹

เชื้อแบคทีเรียเริ่มต้นด้วย 2000 เซลล์ และเติบโตตาม dN/dt = k·N โดย k = 0.07 h⁻¹ ต้องใช้เวลากี่ชั่วโมง t จึงมี 10000 เซลล์

ชิ้นส่วนเหล็กหลอมอุณหภูมิ 400 °C ถูกวางทิ้งไว้ให้เย็นลงในโรงงานที่มีอุณหภูมิ 26 °C หลังผ่านไป 26 min อุณหภูมิเท่ากับ 158 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹

ชิ้นส่วนเหล็กหลอมอุณหภูมิ 320 °C ถูกวางทิ้งไว้ให้เย็นลงในโรงงานที่มีอุณหภูมิ 23 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) เมื่อ k = 0.02 min⁻¹ จงหาอุณหภูมิ T หลังผ่านไป 32 min

ถังบรรจุน้ำ 400 L ซึ่งมีเกลือละลายอยู่ 5 kg น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.25 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 2 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน หลังผ่านไป 15 min จะมีเกลือในถังเท่าใด m

ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 16.25y = 162.5 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด y_max ของการตอบสนองต่อขั้น