1.ง่าย
ระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วงถูกอธิบายด้วย y″ + 1.6y′ + 16y = 0 จงเทียบกับ y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 และหาอัตราส่วนการหน่วง ζ
y″ + 1.6y′ + 16y = 0
ζ =
ใบงาน สมการเชิงอนุพันธ์ พร้อมเฉลย
2.ง่าย
สารติดตามกัมมันตรังสีมีครึ่งชีวิต 30 วัน ตัวอย่างเริ่มต้นมี 50 mg การสลายตัวเป็นไปตาม dm/dt = −k·m หลังจาก 115 วัน จะเหลือเท่าใด m
m0 = 50 mgt½ = 30 dt = 115 d
m = mg
3.ปานกลาง
ชิ้นส่วนเหล็กหลอมอุณหภูมิ 340 °C ถูกวางทิ้งไว้ให้เย็นลงในโรงงานที่มีอุณหภูมิ 23 °C หลังผ่านไป 30 min อุณหภูมิเท่ากับ 258 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹
T0 = 340 °CTa = 23 °CT(30) = 258 °C
k = min⁻¹
4.ปานกลาง
น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 6 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 24 °C หลังผ่านไป 8 min อุณหภูมิเท่ากับ 16 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(8) = 16 °C
k = min⁻¹
5.ยาก
ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 9.25y = 18.5 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น
y″ + y′ + 9.25y = 18.5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.ยาก
ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 4.25y = 4.25 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.25) มุมเป็นเรเดียน
y″ + y′ + 4.25y = 4.25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
เฉลย
- 1. ζ = 0.2
- 2. m = 3.508 mg
- 3. k = 0.009977 min⁻¹
- 4. k = 0.1014 min⁻¹
- 5. ymax = 3.185
- 6. y(0.25) = 0.1198
เฉลยทีละขั้นตอนฉบับเต็ม: ฝึกหัวข้อนี้ได้ที่ examproblems.com