AP Calculus alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Limitler

Doğrudan yerine koyma: önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler: x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
L'Hôpital kuralı: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Optimizasyon

Yöntem: Q(x)’i tek değişkenle yazın, Q′(x) = 0’ı çözün, Q″’yü veya uç noktaları kontrol edin
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Kapalı silindir: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Kâr: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

2Alıştırma soruları

1.LimitlerOrta

L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.LimitlerZor

L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x² limitini bulun.

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.TürevlerOrta

f(x) = (2x − 1)³ olsun. f′(2)'yi bulun.

f(x) = (2x − 1)³x = 2

f′(2) =

4.TürevlerZor

f(x) = 3x² + 3x − 6 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 3x² + 3x − 6x = 2

b =

5.OptimizasyonOrta

Kare tabanlı açık (kapaksız) bir kutu 13500 cm³ almalıdır. Mümkün olan en az malzemeyi, yani tabanla dört yan yüzün en küçük alanını kullanın. Yükseklik h değerini bulun.

V = 13500 cm³

h = cm

6.OptimizasyonZor

Bir şirket haftada q birim satıyor. Bunları satabileceği fiyat birim başına p = 130 − 0,25q avro ve maliyet C(q) = 1400 + 45q avro. En büyük haftalık kâr P değerini bulun.

p = 130 − 0,25qC = 1400 + 45q

P = €

7.İntegrallerOrta

I = ∫₂¹⁰ 4/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 4/x[2, 10]

I =

8.İntegrallerZor

I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx değerini hesaplayın.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

9.Diferansiyel denklemlerOrta

460 °C’deki dövme çelik bir parça 29 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 11 dakika sonra sıcaklığı 415 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.

T₀ = 460 °CT_a = 29 °CT(11) = 415 °C

k = min⁻¹

10.Diferansiyel denklemlerZor

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(1) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.

y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

11.Diziler ve serilerOrta

Dört serinin tam biri yakınsar. Ona tıklayın.

A: Σ k³/5ᵏB: Σ 1/√kC: Σ (4/3)ᵏD: Σ (k + 3)/k²

1A: Σ k³/5ᵏ
2B: Σ 1/√k
3C: Σ (4/3)ᵏ
4D: Σ (k + 3)/k²

12.Diziler ve serilerZor

f(x) = cos x, x = 2 noktasında n. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. M = 1 ile Lagrange sınırı M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanarak, hatanın 1 × 10⁻⁶ değerinin altında olmasını garanti eden en küçük dereceyi, n, bulun.

f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

3Çözeltiler

1.Limitler

Cevap: L = 2,718

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Logaritma alın

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

Hesaplayın

u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Logaritmayı geri alın

L = e¹ = 2,718

Cevap

L = 2,718

2.Limitler

Cevap: L = 2

Birinci uygulama

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

İkinci uygulama

4·e^−2x/2

x = 0 koyun

L = 4·1/2 = 2

Cevap

L = 2

3.Türevler

Cevap: f′(2) = 54

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 3·(2x − 1)²·2

Yerine koyun

f′(2) = 3·3²·2 = 54

Cevap

f′(2) = 54

4.Türevler

Cevap: b = −18

Nokta ve eğim

f(2) = 12

f′(x) = 6x + 3 → f′(2) = 15

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 12 − 15·2 = −18

Cevap

b = −18

5.Optimizasyon

Cevap: h = 15 cm

Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.

x’in fonksiyonu olarak alan

S(x) = x² + 54000/x

Türevi sıfıra eşitleyin

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, yani bu bir minimumdur.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Yükseklik ve alan

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Cevap

h = 15 cm

En iyi açık kutunun yüksekliği genişliğinin yarısıdır.

6.Optimizasyon

Cevap: P = 5825 €

Kâr fonksiyonu

P(q) = (130 − 0,25q)·q − (1400 + 45q) = −0,25q² + 85q − 1400

Türevi sıfıra eşitleyin

P″(q) = −0,5 < 0, yani bu bir maksimumdur.

q = 85/0,5 = 170

Fiyat ve kâr

p = 130 − 0,25·170 = €87,5

P = 85·170 − 0,25·170² − 1400 = €5825

Cevap

P = €5825

7.İntegraller

Cevap: I = 6,438

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = 4·ln x

Sınırları yerine koyun

I = 4·(ln 10 − ln 2) = 4·ln 5 = 6,438

Cevap

I = 6,438

8.İntegraller

Cevap: I = 37,59

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

Birinci tur

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

İkinci tur

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limitler

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Cevap

I = 37,59

9.Diferansiyel denklemler

Cevap: k = 0,01002 min⁻¹

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Sıcaklık farklarının oranı

e^−11k = 386/431

k için çözün

k = ln(431/386)/11 = 0,01002 min⁻¹

Cevap

k = 0,01002 min⁻¹

10.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1) = 5,004

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Sürekli değer ve kökler

y_ss = 5, r = −1,5 ± 5j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −1,5

Hesaplayın

y(1) = 5·(1 − e^−1,5(cos 5 + 0,3·sin 5)) = 5,004

Cevap

y(1) = 5,004

11.Diziler ve seriler

Cevap: A: Σ k³/5ᵏ

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Her seriyi sınayın

A: Σ k³/5ᵏ → Oran testi: L = 1/5 < 1, yakınsar.

B: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 olan p-serisi: ıraksar.

C: Σ (4/3)ᵏ → r = 4/3 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.

D: Σ (k + 3)/k² → Büyük k için 1/k gibi davranır: harmonik seriyle karşılaştırmayla ıraksar.

Cevap

A: Σ k³/5ᵏ

Cevap

A: Σ k³/5ᵏ

12.Diziler ve seriler

Cevap: n = 13

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Artan n için sınırlar

n = 12: 1,316 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 13: 1,879 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

En küçük derece

n = 13

Cevap

n = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice