AP Statistics alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 60, 42, 41, 44, 55, 12.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 575'ün altındadır?

μ = 500σ = 60x = 575

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 4

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 2X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 28,3 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = puan

7.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

8.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (23, 126) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(23, 126)

e =

9.Güven aralıklarıOrta

8 birimlik bir örneklemin ortalaması 20 ve standart sapması s = 18,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 8x̄ = 20s = 18,595%t(7) = 2,365

üst sınır =

10.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 16 milin çaplarının örneklem standart sapması 7,1 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 15 ile χ² dağılımının %2,5’i 6,262 değerinin altında, %2,5’i 27,488 değerinin üstündedir.

n = 16s = 7,1 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 6 öğrenci, ortalama puan 65, standart sapma 10,5. Grup 2: 6 öğrenci, ortalama puan 51,3, standart sapma 7,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 65s₁ = 10,5n₂ = 6x̄₂ = 51,3s₂ = 7,5

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 3 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 51,5’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 51,5σ = 3n = 36α = 0,05

1 − β = %

13.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1402 × 3

χ² =

14.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 4 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

k = 4

df =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,72

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 254/6 = 42,33

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 17,67² + (−0,3333)² + (−1,333)² + 1,667² + 12,67² + (−30,33)² = 1397

Standart sapma

s = √(1397/5) = 16,72

Cevap

s = 16,72

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: P = 0,5177

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Cevap

P = 0,5177

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 1,609

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·0,8047 = 1,609

Cevap

σ_Y = 1,609

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·0,95 + 20 = 21,9.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9306

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartlaştırın

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Cevap

P = 0,9306

6.Normal dağılım

Cevap: x = 77,82 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 puan

Cevap

x = 77,82 puan

7.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,8889

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64,8

Belirlilik katsayısı

r² = −24²/(10·64,8) = 0,8889

Cevap

r² = 0,8889

y’deki değişimin yaklaşık %88,89’ı doğru tarafından açıklanır.

8.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −2,405

Ortalamalar

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 701/6 = 116,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405

Regresyon doğrusu

b = 405/70 = 5,786

a = 116,8 − 5,786·21 = −4,667

ŷ = −4,667 + 5,786·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −4,667 + 5,786·23 = 128,4

Artık

e = 126 − 128,4 = −2,405

Cevap

e = −2,405

Nokta doğrunun altındadır.

9.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 35,47

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Hata payı

E = 2,365·18,5/√8 = 15,47

Aralık

20 ± 15,47 → [4,531, 35,47]

Cevap

üst sınır = 35,47

10.Güven aralıkları

Cevap: σ = 5,245 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 15·7,1² = 756,1

σ² için sınırlar

756,1/27,488 = 27,51

756,1/6,262 = 120,8

σ için sınır

σ = √27,51 = 5,245 µm

Cevap

σ = 5,245 µm

σ için %95 aralık: [5,245, 10,99] µm.

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,601

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (5·10,5² + 5·7,5²)/10 = 83,25

s_p = 9,124

Standart hata

SE = 9,124·√(1/6 + 1/6) = 5,268

Test istatistiği

t = (65 − 51,3)/5,268 = 2,601

Cevap

t = 2,601

df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 91,23 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 50 + 1,645·0,5 = 50,82

Gerçek ortalama altında z

z = (50,82 − 51,5)/0,5 = −1,355

Güç

güç = P(Z > −1,355) = 91,23%

1 − β = 91,23%

Cevap

1 − β = 91,23%

13.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 1,447

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

kentsel: 40·28/140 = 8, 40·42/140 = 12, 40·70/140 = 20

kırsal: 100·28/140 = 20, 100·42/140 = 30, 100·70/140 = 50

Ki-kare istatistiği

χ² = (6 − 8)²/8 + (11 − 12)²/12 + (23 − 20)²/20 + (22 − 20)²/20 + (31 − 30)²/30 + (47 − 50)²/50

χ² = 1,447

Cevap

χ² = 1,447

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

14.Ki-kare testleri

Cevap: df = 2

Serbestlik derecesi

df = 4 − 1 − 1 = 2

Cevap

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice